再与张彧典先生探讨什么是构形？

雷明85639720

再与张彧典先生探讨什么是构形？
雷  明
（二○二一年十一月二十九日）

张彧典先生在他的《埃雷拉（Errera）图问世100年研究成果综述》一文中说：他“把前人关于‘构形’的定义完善为‘几何结构＋4染色图’”，我感到这是不合适的，所以就想与张先生交换一下意见。
什么是构形？我认为构形就是用以替代无数的具体极大平面图的一个非具体的非极大的已部分进行了4—着色的有限的几个平面图。这里的“有限的几个”就是平面图的不可避免的构形集合。构形中只有一个顶点未着色，叫待着色顶点，与其相邻的顶点叫围栏顶点。构形集合中既是只有“有限的几个”，那一定是各有其不同的特征的，这样的特征就表现在其特征链及其各特征链间的相互关系的不同，与构形的几何结构是无关的。我这里所说的特征链就说的是张先生所说的“4染色图”。
这里我们只单讲在BAB型的5—轮构形中具有双环交叉链A—C和A—D的且不能连续的移去两个同色B的H—构形。这种构形中，既有双环交叉的A—C和A—D链，当然该两链就不可能进行交换并移出A、C、D三色之一给待着色顶点； B—C链和B—D链又不可连续的进行交换而空出B。这里，有双环交叉链和不能移去两个同色B就是该类构形中的特征链的特点。但只有这一点还是不够的，还是不能把H—构形的特征全部描来的。
既然该类构形中A—C链和A—D链，B—C链和B—D链都不能进行交换，那么还有A—B链和C—D链可不可以进行交换呢？可以的。对于这两种链来说，他们都可以是环形的或者是非环形的；但无论怎么样，两链都是不会交叉的，因为两链是一对相反链，没有共同的颜色。
如果有环形的A—B链（或C—D链），则该链一定把C—D链（或A—B链）分隔在其两侧，交换其中任一侧的相反链，都可以达到破坏双环交叉链的目的。没有了双环交叉链，构形自然就转化成了可约的K—构形了。这是一个亚类的H—构形。有了A—B（或C—D）一种环形链时，就可以防止交换另一种C—D（或A—B）相反链时，把图中所有着C与D（或A与B）两种颜色的顶点的颜色都改变一次而等于没有交换的情况发生。
如果没有这样的环形链怎么办呢？这就是H—构形的另一类亚构形了。这类构形也就只好可以采用只对两种关于B的链中的一种进行交换，使构形进行转型，即改变构形峰点的位置和颜色，再看转化成的构形是一个什么构形，再进行处理了。
从以上两点可以看出，构形的分类是与其几何结构没有关系的，而只与其特征链及其相互关系的染色情况有关。
再者，对于同一种特征链来说，该链的长短（即链中的顶点数多少）也可以是随便的，可以多，也可少，只要各特征链的相互关系保持不变即可。由于这样的原因，也就产生了有些构形可能是极大图，有些构形可能就不是极大图了。所以说构形又是一个非具体的非极大的平面图。
张先生把构形按其几何结构分成十折对称构形（E—族构形）和非十折对称构形（非E—族构形），是不科学的。关键的地方是“什么是十折对称”，没有明显的标志，不能明确的进行识别。况且张先生本人也认为十折对称只是在图中的待着色顶点是在隐形情况下才能识别的。在E—图中如果把待着色顶点画上去，你那个所谓的十折对称也可能就不存在了吧！那么你把H—构形分成十折对称和非十折对称的，在现在大家都喜欢待着色顶点是显形的画法情况下，如何能识别出谁是十折对称的，谁是非十折对称的呢？如何能知道该用那种方法去解决呢？你得给出一个识别的方法呀！这一要求总不过分吧！

雷  明
二○二一年十一月二十九日于长安