三素数趣题一则

lusishun

3，5，7是公差为2的一组三素数，
3，7、11是公差为4的一组三素数，
7，13，19是公差为6的一组三素数，
……
请找出，公差为8，10，12，14的三素数，
但是。公差为16的三素数没有。
看谁的证明最简单。

yangchuanju

偷偷地看几篇白新岭的k生素数群的数量公式，什么都会明白的。
千万不要在高中生面前摆弄小数一年级的算术题。

费尔马1

这个题我记得探讨过了，三个素数的等差数列段，①当公差是6的倍数时，有无穷多个；
②当公差不是6的倍数时，只有一个，而且首项是3。

lusishun

证明还真是有点难度吧？哈哈，

yangchuanju

三生素数p,p+2,p+6; p,p+4,p+6; p,p+6,p+12都是无穷多的。大家都这么说，好像是公认了。实际上谁也没有证明。
最简单的孪生素数无穷多，各种证明至今都没有得到公认，那就别说三生素数、四生素数无穷多的证明了。

yangchuanju

鲁先生，在您证明孪生素数无穷多的基础上证一证三生素数无穷多吧！
您不是说没活干了吗？
若需帮忙尽管说，趁我还没有到白新岭那里报道。

白新岭

的确是小儿科问题：(P,P+2n,P+4n)如果同时为素数，可形成公差为2n的等差三生素数。现在假设mod(2n,3)=1,推出mod(4n,3)=2，mod(0,3)=0，遍历了3所有余数类，所以没有这类型的等差三生素数。
另外假设：mod(2n,3)=2，.....，同样推出类似结果。所以mod(2n,3)=1或2，它们都不可能是素数。
  省最后一种情况：mod(2n,3)=0，此时mod(4n,3)=0，mod(0,3)=0，说明此时，三个素数对于3来说，同余，这样的等差三生素数有无数组，在k生素数群的数量公式有很多这样的公式，对于此类等差三生素数来说，它们的数量都是最密3生素数数量的有理数倍数（从理论上说，意即用最密三生素数的数量公式*∏\({P_i-2}\over{P_i-3}\)即可）

白新岭

第一组和第二组，都是唯一的一种，从此以后找不到类似的情况。因为它们包含了素数3.
对于任意的k生素数而言，要么，唯一的一组，要么，无数组。没有第三选项。
也就是说，你找到了一组，如果找到第二组，你就会找到无数组；要么，再也找不到了。

lusishun

p，p+2，p+6形式的三生素数个数的公式，可利用三筛法，以前介绍过，但我还无法证明无穷多，

cuikun-186

3，11，19是公差为8的一组三素数，
3，13、23是公差为10的一组三素数，
7，19，31是公差为12的一组三素数，
3，17，31是公差为14的一组三素数，
……
公差为16的三素数不存在

公差为16的三素数不存在

    原创作者：崔坤

中国青岛即墨，E-mail:cwkzq@126.com

证明：

大于3的素数只分布在6n-1和6n+1两数列中：

【1】若存在6n-1中，不妨设三素数为，则有：(6x-1),(6x+15),(6x+31)，

显然（6x+15)=3*（2x+5)为合数，故不存在

【2】若存在6n+1中，不妨设三素数为，则有：(6y+1),(6y+17),(6y+33)，

显然（6y+33)=3*（2y+11)为合数，故不存在

结论：公差为16的三素数不存在

证毕！！！

2021.12.08于即墨

公差为16的三素数不存在
原创作者：崔坤
证明：
对于自然数P,P+16,P+32，P是≥3的素数
【1】若P=3m,则，m=1,
显见，公差为16的三整数是：3，19，35
中的35是合数，故如题不存在。
【2】P=3m+1时，三整数为：
（3m+1）,(3m+17),（3m+33）
显见，3m+33=3*(m+11)为合数，
故如题不存在。
【3】P=3m+2时，三整数为：
（3m+2）,(3m+18),（3m+34）
显见，3m+18=3*(m+6)为合数，
故如题不存在。
综上所述，命题得证！