任意次幂的程氏三角形求和之全通解式

费尔马1 · 发表于 2021-12-13 14:41

程氏三角形的最总公式，一个公式就能表示所有程氏三角形的sn公式。
顶尖数是k∧m，腰上的数字全部是m次幂，每个m次幂的底数成等差数列，公差为d，计算规则同杨辉三角形。
m、d为自然数，k、n为正整数。
此最总公式不用递推，把m的值直接代入最总公式即可解出程氏三角形m次幂的前n项和公式sn。
例如:k=3，d=2，m=8时，顶尖数是3∧8，腰上的数字依次是3∧8，5∧8，7∧8……
                                 6561
                  390625       390625
      5764801       781250  5764801
……………………………………………………………………

程氏三角形8次幂前n项和总公式：Sn＝（k＾8＋16K＾7＊d＋168K＾6＊d＾2＋1456K＾5＊d＾3＋10500K＾4＊d＾4＋60592K＾3＊d＾5＋262248K＾2＊d＾6＋756688K＊d＾7＋1091670d＾8）（2＾n一1）－2d＾8＊n＾8－（16Kd＾7＋16d＾8）n＾7－（56K＾2＊d＾6＋112Kd＾7＋168d＾8）n＾6－（112K＾3＊d＾5＋336K＾2＊d＾6＋1008Kd＾7＋1456d＾8）n＾5－（140K＾4＊d＾4＋560K＾3＊d＾5＋2520K＾2＊d＾6＋7280Kd＾7＋10500d＾8）n＾4－（112K＾5＊d＾3＋560K＾4＊d＾4＋3360K＾3＊d＾5+14560K＾2＊d＾6＋42000Kd＾7＋60592d＾8）n＾3－（56K＾6＊d＾2＋336K＾5＊d＾3＋2520K＾4＊d＾4＋14560K＾3＊d＾5＋63000K＾2＊d＾6＋181776Kd＾7＋262248d＾8）n＾2－（16K＾7＊d＋112K＾6＊d＾2＋1008K＾5＊d＾3＋7280K＾4＊d＾4＋42000K＾3＊d＾5＋181776K＾2＊d＾6＋524496Kd＾7＋756688d＾8）n
                  2017-9-30
公式推导者:程中永  程中战

费尔马1 · 发表于 2021-12-13 20:14

请老师们验证这个八次幂的总公式Sn。
注，三角形的每一行为数列的通项，其通项公式为 an=Sn-S（n-1）
这样，这个级数（类似杨辉三角）的通项公式及前n项和公式就全部解决了！
衷心希望老师们及数学爱好者们对我们的公式提出宝贵意见！
请老师们验证一下。谢谢老师！
九次幂三角形、十次幂三角形……k次幂三角形的求和公式已经得出了，暂时不先发布。

费尔马1 · 发表于 2021-12-13 20:17

这个题总的求和公式是非常复杂的！学生我估计大数学家怀尔斯、望月新一等人不一定能解出来啊！！！

wlc1 · 发表于 2021-12-13 20:20

:hug:

费尔马1 · 发表于 2021-12-14 05:53

历史上曾有程氏兄弟俩，程颐、程灏，有一个成语“程门立雪”，古代下雪，雪下得好大呀！地面上积雪很厚啊！

费尔马1 · 发表于 2021-12-14 12:04

请问大家，一楼的总公式的题意理解吗？

费尔马1 · 发表于 2021-12-14 12:06

希望老师可以说说对此题的看法?谢谢！

费尔马1 · 发表于 2021-12-14 12:12

学生我不要求大家解这样的题(因为这类题太复杂了)，只是请老师们验证一下，谢谢老师！

费尔马1 · 发表于 2021-12-15 04:14

请老师们验证一下。

费尔马1 · 发表于 2021-12-15 10:36

请老师们验证一下这个公式，谢谢老师！

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