人为什么会发明数学？｜黎景辉：盼望这个故事激发起你们学习数学的雄心壮志

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人为什么会发明数学？｜黎景辉：盼望这个故事激发起你们学习数学的雄心壮志

作者 | 黎景辉（河南大学数学与统计学院）

来源 | 和乐数学

人为什么会发明数学?

本文的底稿是我最近在一些中学和学院的演讲的讲稿。一些朋友问我要这个稿。但是原稿有点急就章，所以需要略为整理才发表。这并不是一篇论文而是一个讲稿——有“你-我”之间的对话；我决定保留这个气氛。文中是说个显然的故事。我相信同行大多有同样的看法，只不过大家很忙还未能抽空写下来而已。

我要为大家说一个数学故事。我盼望这个故事激发起你们学习数学的雄心壮志。故事的中心是要回答一个问题：人为什么发明数学？我相信这个问题有很多答案。我的答案是:

(1)人发明数学是为了：『我要活下去！』，进一步是『活得更好』和『求知』:人想知道为什么是这样的？知道了便做得更好、活得更好。

(2)当社会的经济达到丰足的水平，数学成为文化生活的一部分，人发明数学是为了让文化生活更加丰盛。我想借助一些实例来说明这个观点。

1. 数学与人

首先我认为数学与人是分不开的，也就是说只要有人，便有数学。以下一张图十五世纪意大利人达文西（达芬奇）的作品【维特鲁威人】：



他绘画的是关于理想的人体比例，达文西是依照古罗马建筑师维特鲁威的描述而画出来的。这件作品被视作为代表人类的形象。这张图有人和比例。大家都知道要有数学才可以谈比例。可以说这张图是介绍人和数学。我们知道在众多的生命界里，譬如像狗或者是猴子等都有它们的沟通语言，然而只有人类才会用数学这一个独特的语言来形容我们的"宇宙"。人类的数学是从数字开始。以下的图片：前面两张是古埃及人的数字，第三张是公元前 2000 年中国甲骨文数字。我们可以说无论是在西方或东方的文化里，很早就看见数学了。





夏、商、西周三代时期，数字符号逐渐规范。公元前 14 至 11 世纪的殷墟甲骨文卜辞中有许多数字。其中有 13 个记数单字，它们是：





甲骨文用 9 个数字与 4 个位置值符号，可以表示大到成万的任何自然数。甲骨文数字是十进制，已有位置值制萌芽。

2. 活下去

最初，怎么会有数？我想象，也许是这样的。开始的时侯，老虎比人多，老虎追人，要把人吃掉。

有一天人正要从洞里出来，一看，一只老虎



他找后面的大叔，两个人把这只老虎赶走啦！第二天清早往外一看，两只老虎，还是不要外出了!



第三天，



肚子好饿，要出外找吃的，它们好像也在等吃呢！怎办?

人要活下去！人会问：是一只老虎还是三只老虎在追我？

这样，一，二，三，... 人发明数了！人多啦，开始打老虎了。若一只老虎换两只猪，那么两老虎换几只猪？人发明数学了！所以我说『人要活下去！』便会发明数学了！

3. 活得更好

当人可以活下去之后便想活得更好。要活得更好便要更会算了。经过无数战争我国人口从汉初一千五百万到明万历一亿五千万，经济是在增长。同时我国数学有惊人的发明。一个大进步之后，人要活得更好：要建房子，便会有"勾三股四弦五"，即是 3^2+4^2=5^2 。更进一步要求高效率:找一个一般可用的『公式』：勾股定理(西方说是公元前五世纪希腊萨摩斯岛的毕达哥拉斯发现的)：直角边的平方和等于斜边的平方 a^2+b^2=c^2 。



《周髀算经》(卷上之一)中，记载了商朝的商高(公元前 11 世纪)引述大禹发现了勾股定理的特例：「故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。…故禹之所以治天下者，此数之所生也。」《周髀算经》 是中国现存最早的一部数学典籍，成书在汉朝。



《周髀算经》不是周老师某天在牛骨上刻下来的一部书。这是记录中华民族经过一段很长时间的努力从[数字]发展到[数字的四则运算]的一部书。用今日的语言这便是现存最早的一部记载有[群论]的数学典籍。怎样执行[四则运算]呢?中国人发明了一个非常聪明的办法——以位记数的方法——就是三千年后电子计算机的方法.这个方法是用竹枝为算筹，以位置记数。所谓算=筭=弄竹。用算筹计算，便是筹算。在春秋时代已很普遍。下图是陕西千阳出土的西汉算骨筹。



请不要小看 a^2+b^2=c^2 这个公式!取 a=1=b ，这公式说有一数 c 其平方为 2 ，用符号 √2 来表达这个数 c 。但是这并没有告诉我们这 √2 是多少呢？

稍后《周髀算经》出现的《九章算术》（东汉中期，不迟于公元 100 年）是第一部把古代中国数学已有的知识加以总结的书籍。北宋元丰七年（公元 1084 年）朝廷秘书省进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。《九章算术》收录有 246 个题目。其中有勾股定理"荣方问于陈子"一节中：

「若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日」。

这是非常大的进步!这是一个一般的公式，不象《周髀算经》出现的特例！我们从数进步到数学。不只有公式，《九章算术》还提供计算方法！在「少广」章谈开平方、开立方术。三国时代，魏国数学家刘徽注《九章算术》(263 年)。刘徽说:「物之数量，不可悉全，必以分言之。」于是产生了分数。刘徽在开方不尽时用十进小数（微数）表示无理根的近似值，可以算出 √2 ，开十进分数之先河。中国就这样奠定以筹算为中心的数学体系。

中国传统数学注重生活与生产的实际需求，数学研究是以算法为中心，为提高计算技术而展开的。通过算筹，中国人很早就掌握了复杂的计算。比起同时期的西方数学无疑是遥遥领前的。可以说中国传统数学是在电子计算机之前人类最早的计算数值方法学。这种解决眼前困难的科学方法当然非常有效率；但是它的缺点是往往不会超越眼前而创新。相比面对 c^2=1^2+1^2 ，希腊人问: √2 是什么的数？他们证明了 √2 不是分数(见《几何原本》)。这里有两件事值得注意:

● (一)他们提出证明这种方法。

● (二)他们想知道"分数"以外还有什么"数"?

尤其是第(二)点，西方数学家一直问到二十世纪才了解"实数"。因为我们的祖先太会算了，他们就不问希腊人问的问题，这就引至日后中西科学发展的严重分歧和后果!


左上图是1901年于希腊安提凯希拉岛海域古船残骸找到二千年前造的青铜齿轮钟形装置。右上图是 2005 年用 X 射线计算机断层扫描获得这机器内部结构后建立的三维模型。这装置可以预算日月行星的位置和天文周期。可以说这是人类现存最古老机械模拟计算机。它体现了从天象观测到理论计算至机械实物产生的过程。金属齿轮的创造和应用可能是我国古代机械工程的瓶颈。

4. 数学推动科技

“勾三股四弦五 → a^2+b^2=c^2 → 建房子”是人类科学史里常见的一个过程。科学家，特别是西方的科学家在文艺复兴之后，把数学和科技结合起来去解决为了『活得更好』而产生的问题。为了获得更有效率的生产程序而寻求理解一般现象而获得适用范围更广的一般原则，公式。周而复此，科学与技术互相批判，不断的进行思想革命，这就是西方科学的进步过程。在这个过程中，要活得更好便要发展数学这个强而有力的工具。


牛顿

西方过去三百年来的成就是来自两个在中国没有发生的大突破：一是微积分，二是电。英国人牛顿发明微积分来写他的力学。从此微积分不单是准确的计算工具，更重要的是它为物理学提供一个表达和推导思想的一个人类从来未有过的不可思议的方法。让我们简单介绍数学怎样不停的为物理学提供解决问题的工具：

● 用微积分我们得到力学，气象学，电磁学。

● 用矩阵，算子代数我们得到量子力学。

● 用微分几何我们得到相对论。

● 没有力学，便没有机械，汽车，飞机。

● 没有电磁学，便没有电视机，地铁，高铁。

● 没有量子力学，便没有 USB 随身碟。

● 没有相对论，便没有全球定位系统(GPS)手机地图。

我们可以大胆的说：没有数学→没有物理学→没有科技，那就不可以『活得更好』了

5. 通讯

前面说的是在数学推动下生产出实体的科技。到了 20 世纪我们便看见数学在没有实体的科技的决定性作用。可以说没有快速傅里叶变换便没有互联网，没有特征根快算便没有谷歌。作为例子，让我们从我们身边的手机说起。现在手机里每一个部件都在使用很多数学，特别是代数学在各种信码的功用。虽然早年我国有在国外念完博士回来的世界一流代数学家，像杨武之，曾炯之，柯召，张禾瑞，段学复，王湘浩。但是要等到 2003 年，在没有联合国同意下美国领军入侵伊拉克，从作战的宣传影片我们看到数字战斗，我们明白数学尤其是代数学和我们『活下去』是息息相关的，这一场战争让代数重生。


杨武之


曾炯之


柯召


张禾瑞


段学复



(1)代数在信息工程的第一个功能是编码。码把信息和数据变化为电的信号。我们介绍一个近年的故事。2009 年，深圳华为开始5G研究，虽然当时的技术标准有很多，但华为认为，极化码有作为优秀信道编码技术的潜力。2016 年，在 3GPP 会议 5G 短码方案讨论中，以中国华为公司主推的极化码方案，成为 5G 控制信道场景编码方案。这也是中国公司第一次从概念研发介入到标准、产品全链条参与的通信标准。极化码入选 5G 标准意味着中国通讯企业第一次迈入世界顶尖领域。2018 年 7 月 26 日华为创始人任正非在深圳总部举办颁奖仪式，为 5G 极化码发现者土耳其阿勒坎教授颁发特别奖项，致敬他为通信事业发展所作出的突出贡献。我们要指出极化码是一个土耳其原创，在一个公开的杂志发表；把这个理论转化为技术是华为自主研究的成品，因此这不是从欧美日韩任一国家得来的。


阿勒坎

(2)有编码自然有解码。解码是国家安全和电子商务的核心技术。我国的解码能力竟然是出乎其佳。一个名人是王小云，清华大学杨振宁讲座教授，中国科学院院士，国际密码协会会士，2019 未来科学大奖－数学与计算机科学奖获得者。1966 年，王小云出生于山东诸城。1983 年考入山东大学数学系，师从著名数学家潘承洞。读完了本科硕士与博士，留在山东大学任教。2004 年 8 月，在美国密码大会上，王小云宣读了对于 MD4、MD5、HAVAL－128 和 RIPEMD 四个国际著名密码算法的破译结果。2005 年 2 月，在美国信息安全研讨会上，王小云公布了 SHA－1 全算法的攻破。2005 年，美国《新科学家》杂志在一篇文章中，用了颇具震撼力的标题——《崩溃！密码学的危机》，报道了王小云团队的成果。2006 年美国政府宣布美国联邦机构 2010 年之前必须停止使用王小云破解的密码。


王小云

(3)当你一机在手什么都有的时侯也许你认为我们已解决了在通讯技术里所有的数学问题，那你是大错了。



2020 年 9 月 12 日华为战略研究院院长徐文伟在长沙由中国工业与应用数学学会举办的“数学促进企业创新发展论坛”上说：华为公司一直非常重视数学，目前已经有 700 多位数学博士。华为吸引了很多数学家与华为合作，成果丰硕。例如，2008 年，华为俄罗斯数学家用非线性数学多维空间逆函数，解决了 GSM 多载波干扰问题，当时攻克了 2G、3G 基站合一的难题，现在实现了 2G、3G、4G、5G 基站融合，基站功耗降低 50%，集成度大大提升，帮助华为无线一举在欧洲和全球取得领先，数学家真是功不可没。他还说：展望未来，我们希望与数学家们一起努力，实现四个目标：

● 第一，超越身体限制，提升感知能力，比如更好的拍照技术。

● 第二，超越生物智慧，发展新型计算，比如更好的人工智能。

● 第三，跨越空间障碍，实现身临其境，比如真人级全息通信。

● 第四，拓展认知极限，开发介观器件，比如原子设计与组装。

最后徐文伟提出通讯数学华为 10 大挑战问题。这些都是等着我们去做的事！信息传递是一个民族的文明与文化的基础。信息交换是现代人的社交，商务，学习和国防的基石。美国数学家香农提出数学信息论七十年后的今天，在大数据结构数学化，在信息技术的更新，人与机器的接口渗透，信息理论面临巨大的升级压力，这是赋予数学家难得的机会。不过在 2021 年 8 月 6 日，华为公布业绩时，董事长徐直军表示：“我们明确了公司未来五年的战略目标，…，活下来，有质量地活下来。”这是一家原本有最先进技术的公司被美国政府攻击至只能求活了。难道不原意当生产奴隶的人便要被消灭？


香农

(4)卫星。当你拿起手机打电话到外国或在国外网上购买一本书你已用了通信卫星。当你用导航开车回老家你已用了卫星系统。我国通信卫星提供全球化的服务包括：电话，移动通信，传真，广播，电视，数据传输，数据中继和计算机网络融合等。我国在 2020 年建成北斗导航系统，现有 55 颗卫星，还在增加。此外我国还有遥感卫星系统用于资源测量，气象观测等。2021 年世界各国在轨卫星大约数量：1. 美国：1800 颗。2. 中国：300 颗。3. 俄罗斯：200 颗。4. 其他国家：800 颗。

在轨卫星日常服务是包含大量看不到的数学内容.例如托普利兹矩阵算法让你的电视图象更清晰，色彩更鲜艳。当然要把卫星放入轨道，发射投送单位要作大量计算。一般来说入轨之后便自动运行了。但是全球一半的卫星是在近地轨道上，这些都要定期作在轨位置较正；又或者因为要观测大型自然灾难，或要躲避人为或天然的袭击，而需要换轨，这就需要计算和反馈控制了。这样在你的平常生活中数学天天为你服务，让你『活得更好』!

既然说卫星便当谈我国自主创新的太空计划的多项成就：天和号空间站到轨和航天员入驻。探月工程完成“绕落回”，在拉格朗日点的使命轨道的中继卫星“鹊桥号”的协助下 2019 年 1 月 3 日我国嫦娥四号代表人类首次在月球背面着陆。距离地球最远的便是火星之行。这一切都是离不开数学的。


降落火星


祝融号和着陆平台

降轨机动前约 8 小时，飞控中心向天问一号注入入星初始点和导航数据等关键指令，2021 年 5 月 15 日，中国的“天问一号”按预设计算安全着陆火星。一切都要算。

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6. 什么推动数学。

(1)数学的发展和其他科学与技术的发展并不是同步的。常常是先有了一种数学才有一种应用。所以我才说:数学不停的为物理学和工程提供解决问题的工具。那么是什么推动数学的发展呢？我们的答案是：为了:『活下去』人经常留意他的周围:是一只老虎还是三只老虎？由『留意』进展成为好奇，为『求知』。由对大自然的『求知』进展成为对思维世界的『求知』。数学就这样的不停向前发展了。以下用几个例子说明这件事。

在远古时代，人抬头看夜空的星星。西方人把看见的分为十二星座：白羊，金牛，双子，巨蟹，狮子，处女，天秤，天蝎，射手，魔羯，水瓶，双鱼。



我国把星分在二十八宿，见《吕氏春秋》，《淮南子》等书。随县出土的战国时期曾侯乙墓漆箱记录了完整的二十八宿的名称。



现代人凭着比较肉眼更优良的工具，可以看到星系。2016年9月开始启用位于贵州省世界最大射电望远镜。



(2)以下是星系 NGC628 和台风纳沙


星系 NGC628


台风纳沙

星系 NGC628 位于双鱼座，与地球的距离为 3200 万光年，拥有 1,000 亿颗恒星。纳沙是 2011 年在南中国附近的台风。老实说，要是你第一次把这两张图片放在一起看，一个在很远很远的太空比地球大不知多少的现象，另一个就是在我们身边相对而言小很多的台风。如果我跟你说两个东西长得一样，就是它们都是螺旋形的。你应该感到惊讶。你也许好奇的问为什么会这样的？人用数学研究管制它们的方程，发现竟然它们的方程是一样的！方程就是我我们用数学去理解大自然的工具！在下图我们看到理论计算和实际的星系 NCG3031 之间的差异，右图红线是用方程计算的，黑线是实际观察的。



(3)让我们离开太空，看看我们自己，看看我们的心脏。人的心脏像一个泵一样把血液输送，心瓣像泵的开关。问题是:什么使心瓣打开和关闭?电?不是！是血液的湍流！这是五百年前由达芬奇发现的！下一张图是达芬奇的心脏图。



湍流是大自然的一个普遍现象。在物理学里湍流是属于流体力学。湍流理论有非常难的数学问题。对于立体的湍流，数学是毫无办法的。因此对于蚊子是怎样飞的，，海啸中的巨浪是怎样走，长江的水是怎样流我们并不完全了解！此外我们未有对三江源地下水和疆青藏山雪量和全球暖速度作一个整体水文数字建模就很难对长江水泛滥作科学预测了。以下两张是湍流的照片.由红色烟雾着色的飞机机翼引起的湍流。钱学森先生的老师冯卡门教授发现的绕圆柱流的湍流现象。



(4)那么，还有什是我们不知道的呢?举个例子美国克雷数学研究所公布千禧年大奖问题。谁解决了一个问题便可以得到一百万美元的奖金。其中的一个问题是要证明描述三维空间中的液体流动的纳维-斯托克斯方程的解的存在性和唯一性，这是没有人会做的问题。我们只可以用计算机去计算建模。既然如此那就要看谁的计算机算得快。

(5)在 2008 年 5 月 25 日，IBM 为美国军方研制的超级计算机 Roadrunner 达到每秒 1 千万亿次的浮点运算。到了 2009 年，ClayJaguar 的运算速度达到 1.75 千万亿次/秒。在 2010 年 10 月，中国的天河一号达到 2.5 千万亿次/秒。2011 年 11 月，日本的 Kcomputer 达到 10 千万亿次/秒。2015 年 07 月，中国长沙国防科技大学的天河二号以 33.86 千万亿次/秒第三度夺下全球超级计算机排行冠军宝座。运算 1 小时相当于 13 亿人同时用计算机计算一千年。


天河二号

理论上，两个星期的天气预报需要一个 100 亿亿次/秒的计算机。在未有这样快的计算机之前我们是已经需要解决大气热能增加与台风大小-风力增加的关系，及其对大城市高楼建设设计的影响。到所谓百年一遇变为年年都见才开始算恐怕会太迟了！

2020 年超级计算机排名是:

● 1.富岳（Fugaku）是由日本理化学研究所和制造商富士通(Fujitsu)共同开发的超级计算机，峰值为 53.72 亿亿次/秒。

● 2. Summit 是 IBM 在美国橡树岭国家实验室.峰值为 20.07 亿亿次/秒。

● 3.神威·太湖之光超级计算机是由国家并行计算机工程技术研究中心研制、安装在国家超级计算无锡中心的超级计算机，峰值性能为 12.54 亿亿次/秒。

截止 2019 年末世界各国国内生产总值排名(美元)：1. 美国(21.4 万亿)，2. 中国(14.4 万亿)，3. 日本(5.1 万亿)。

我们看见有国力才有超级计算能力。超级计算机是庞大的，20 年前日本富士通开始研究及生产可以放在战舰上的小型超级计算机了。



既然我们在谈计算速度，我们会问，可以比超级计算机更快吗？可以——未来的量子计算机！那其中有没有数学哪？有，量子码。


清华冯克勤


我国第一本量子码课本

2016 年 8 月酒泉卫星发射中心成功发射全球首颗量子科学实验卫星“墨子号”。由中国科学技术大学潘建伟团队，牛津大学光电技术研究所等合作团队圆满完成了世界领先的量子通信任务。



(6)让我们继续遨游太空。我们的太阳是众多星系里一个很普通的星系叫作银河系里的是一颗很普通的星。银河系里就有 100,000,000,000 颗星星！在太空中互相邻近的星系群结成为星团。在我们的星团里距离我们最近的是与我们相距 250 万光年的仙女座星系。天文学家发现在星团里星系之间的空间的温度高达数百万度。相对论告诉我们这么高的温度一定来自许多物质。但是我们看不见任何物质！其实大部分宇宙是我们看不见的。我们看到的大概是整个宇宙的 7% 。余下来的是暗宇宙，它包括了 23% 的暗物和 70% 的暗能。为什么呢?这是什么呢?我们无从了解！我们只能猜是因为暗能所有星系(如上面图片的 NGC628 和 NGC3031)是平的(即厚度远远小于半径)。



我们目前的数学和物理学无法解释这个现象。



2017 年 12 月 17 日在酒泉卫星发射中心成功发射中国科学卫星系列——暗物质粒子探测卫星“悟空”。

(7)我们知道数与物是有分别的。无论用了多少数学，物理学家所研究的都有"现象"。例如广义相对论用了很多数学，但广义相对论推出来的结论是可以实际验证的"现象"。另一方面数学家可以用很多物理学的语言，所造的理论要是不能推出可以验证的"现象"，这个理论只是数学而还未是物理学了。像湍流和暗物是物理学家很关心的现象。除了提供复杂算法支持建模之外，物理学家是找不到含适的数学工具去解释和研究这些现象。不单只是这些“可见”的现象，甚至在理论的情况也是这样。让我们举个例子。我们是生活在有长阔高的三维空间。物理学家常用的一个微积分工具是『变分法』。从牛顿到爱因斯坦这一段日子里，拉格朗日的『变分法』从有限维空间发展到陈省身的有限维微分流形的微分形式变分法。但是现代物理学中重要的杨振宁-米尔斯规范场模空间是个无限维微分流形。而数学家还未造出无限维微分流形上的『变分法』！


陈省身


杨振宁

我们可以希望数学家在现有的数学之外创新，为物理学创建一个更先进的基础数学工具，好让我们更了解我们的宇宙！

(8)自从七十年前在英国剑桥大学的卡文迪什实验室工作的沃森和克里克发现 DNA 分子双螺旋结构，奠定了基因复杂功能的结构基础。随着基因改造工程，遗传学等研究的发展各种数学以惊人的速度加入生物科学的研究。与此同时计算机技术加入各种医学扫描检查如超声波，磁共振，CT等使得数值计算成为机器成象的重要组成部份。此外疫情传染模拟，全身体统一数字化诊断技术，计算细胞生物学，人体血液流体力学，肾脏过滤离子控制的偏微分方程建模，人脑思维与生命的接口研究，人脑与计算机交叉科学，大脑记忆的产生和重现，细胞计算机，神经系统随机过程，神经网络与机器学习等已成为学校的标准课程。欧盟「人脑计划」（HumanBrainProject，HBP）2013-2023 ，预算 10 亿欧元，是欧洲最大的脑科学项目，也是欧盟资助的最大研究项目之一。HBP 主要创始人、著名神经科学家亨利·马克拉姆（HenryMarkram）提出，「在 10 年内，用计算机模拟人类大脑的近千亿个神经元以及它们之间 100 万亿个连接」。2016 年电脑巨头国际商用机器公司与 MIT 人脑科学系（不是在医学院的）成立联合实验室 BM3C 研究电脑-人脑理解领悟力。如果我们说 20 世纪是数学与物理学的世纪，那么，21 世纪有可能是数学与生命科学的世纪！在此不多说了，我们拭目以待吧。

(9)谷歌的 Alpha-Go 和 IBM-Watson 是在超级计算机使用人工智能算法玩游戏战胜人的著名例子。2021 年 12 月的自然杂志封面文章说谷歌的 DeepMind 用人工智能从一个庞大的实验计算资料厍找出一些关于扭结理论和对称群表示理论的一些新的可能正确关系。不过数学比游戏复杂多了。没有计算机可以创造出 Grothendieck 的数学。计算机亦不会找到数学猜想的证明。无论是机械或生物的机器当然是蛮有趣的，但是目前计算机是不可代替数学的。举一个例子。四百年前有个名字叫费马的法国法官，有一天，他在看勾股定理 x^2+y^2=z^2 有整数解。他忽发奇想，把 2 换为 3,4,5,… 等等，有没有正整数 x,y,z 使得 x^3+y^3=z^3 或 x^4+y^4=z^4 或 x^5+y^5=z^5 …。他说，“当我固定 ＞2 的正整数 n ，则我可以证明没有正整数 x,y,z 满足以下的方程式 x^n+y^n=z^n ”。他没有提供证明。

让我说个故事帮助大家了解这个问题。有一次我到外国访问，过关的时侯边防警察问：你是做什么工作的？我说：数学老师。他说：你可以证明吗？我说：请你拿你的计数机算 3 的平方加 4 的平方。他说是 25 。我说：这样便是 3^2+45^2=5^2 。好，现在请找一个整数 z 使得 3^3+4^3=z^3 。他算了一会说：好象没有这样的整数 z 。我说：你可以试一下找一个整数 z 使得 7^3+9^3=z^3 。他很快就放弃说是没有。我说：是没有正整数 x^3+y^3=z^3 满足方程式的。他说：你怎知道？我：这是因为我是数学老师，你不是。我还说：面对这样的题目，即使你有全球最快的计算机，无论你算多久你还是不知道没有满足方程的 x,y,z 。这位警察大笑，在我护照盖章，请我过关。我的故事说到这里。回到费马。过去四百年不少数学家想证明费马说的这个定理。一直到 1995 年英国人怀尔斯成功证明了这个费马大定理，因此他获得阿贝尔奖，这是挪威政府颁发等同诺贝尔奖的数学奖。怀尔斯的证明使用了朗兰兹纲领关于模形式的定理，可以说这个证明的重心是费马问题包含了很多对称，而模形式正好反映这种对称。


怀尔斯


朗兰兹

费马大定理是典型的数论问题，是一个好奇的问题，人想知道『为什么是这样的？』的问题。数学工作者面对的问题可分为两大类。第一类像华为十问是关于生产技术，或像暗物，统一场论是来自物理学的，或药物在血管中的扩散方程是生物学的问题。我们称解决这些问题的数学为应用数学。第二类问题是在数学内部产生的，是数学结构矛盾迫出来的，这就是我们所说：『为什么？』的问题。我国称这方面的研究为基础数学。一个无可否认的历史事实是：一个基础数学的新发现往往走在它的应用之前几十年。一百年前代数学家发明“群”这个概念，谁也不知道今天你拿手机发个短讯已经用了“群”论。因此说某个数学是设有用可能只是个鲁莽的断言。“我们要以科学的态度对待科学，以真理的精神追求真理”（习近平总书记 2018 年 4 月 23 日），我们要让数学不断为社会主义建设取得新的时代内涵，为国家现代化创造全新选择，为我国经济快速发展提供保障。数论就是基础数学的一部分。克雷数学研究所千禧年大奖问题中有几个问题也和数论有关：

● [1]黎曼猜想是关于一个级数取零值的点的分布。

● [2]关于椭圆曲线方程式 y^2=ax^3+bx+c 的 BSD 猜想。

● [3]霍奇猜想是说某微分方程满足对称条件的解是代数函数。这是一个沾有数论色彩的问题。

我们未能解决这些问题。此外基础数学还有很多重要的挑战如朗兰兹对应和论的玉河数猜想。以下是椭圆曲线的图片



我们今日还是受晚清以来‘西学致用’的影响。问题是在数学这个‘用’字是有很长的时标（time scale）的，今日的数学可能是相当时日之后才看到用的。就像椭圆曲线，今天信用卡，银行卡的芯片是用椭圆曲线算法，若我们不继续深入研究椭圆曲线的基础性质，也会我们会错过发现明天革命性的新的应用。

让我们再举一个例子——我们一直说“范畴学”是没有用的。现在在国外常见计算机科学与范畴学的课本。而华为已提出使用范畴学的 topos 理论去发展下一代 6G 通信；今年他们甚至邀请法国数学家菲尔斯奖得主拉福格参加这个团队。右下图右一是拉福格。更早另一位菲尔斯奖得主代数几何学家邙福德于 1996 年离开哈佛转到 Brown 开始研究人工智能的模式识别；而拓扑学家弗里德曼则于 1997 年加入微软公司量子计算(Q 站)。这是说计算机科学使用的数学的水平在急速提升，单靠本科一二年级的数学显然是不足了。



结语

到此，也许可以说是这样的。人发明数学是为了：『我要活下去！』原始时代：是一只老虎还是三只老虎在追我？人的社会组织起来之后：一只老虎换两只猪好不好呢？一个大进步之后建房子："勾三股四弦五"，-有算术了.更进一步要求高效率:创造一个一般可用的『公式』：a^2+b^2=c^2 。便可以『活得更好』。

自文艺复兴至今日，西方的科学家在希腊理性主义的引导下把数学和科技结合起来开发出现在所有的化学，物理学，生物学，医学，工程和工艺。先解决为『活下去』而引起的问题，进一步做到『活得更好』。从找出台风的方程式，到希望准确预测台风。为了『活下去』人经常留意他的周围：是一只老虎还是三只老虎？由『留意』进展成为『好奇』:『为什么是这样的？』。由对大自然的『好奇』进展成为对思维世界的『好奇』。由肉眼可以看见天上的星星，至无法了解外层空间的"暗物"。数学家在数学世界里好奇的漫游也许已超越了仅为生存的需要。但是新的数学发现常有新的应用，是对人『活下去』的一个惊喜的贡献！虽然计算机的速度已经远远超过人的计算速度，但是数学的问题不是目前可以想象的计算机可以解决的;不过正如华为徐文伟指出，机器在跨越实体生命的发展将是数学家本世纪的伟大挑战之一。



一个国家的数学水平和计算能力是这个国家的财富，自卫能力和可以活下去的几率的基本指标之一。我国将从小中学开始全面提高我国全民的数学能力。我国将成为世界数学大国，大是说我国有很多人有比较高的数学水平；也就是说，只有在中国，你开个高端工厂或企业，随便就找到有足够高的数学水平的人应付你的生产，营运或设计的需要。数学大国是指人民数学力量。哈佛大学 Kennedy School Belfer Center 的 2021 年报告 The Great Technological Rivalry 对中国就有类似的想法。当人民生活得好的时候自然便需要保护这个好生活，我们是不愿做奴隶的人们，我们有五千年文字记录的自卫历史，数学将会为支持我们的存在而作贡献，为服务人民而不断努力！年青人，起来吧！用数学武装自已，踏上中华民族伟大复兴的新征程！