梯形 ABCD 中 ∠B=∠C=90°，AB=BC=1，CD=2，Q,P 在 AD,CD 上，PQ=PB，求 PC 的最小值

ysr

（微信群里朋友发的，我不会，转发一下，望会做的朋友老师赐教）题如下：
有直角梯形ABCD，∠A＝135度，∠D＝45度，并有AB＝BC＝1，CD＝2，。Q是AD上动点，P是CD上动点，满足PQ＝PB。求PC的最小值。

Ysu2008

这题有人发过，想不起是谁了。

波斯猫猫

题：梯形 ABCD 中 ∠B=∠C=90°，AB=BC=1，CD=2，Q,P 在 AD,CD 上，PQ=PB，求 PC 的最小值。

思路：作QM⊥CD于M，设PC=y，DM=x，且x＜2，则由条件PQ=PB有（2-x-y）^2+x^2=y^2+1,

化简整理得y=2-x+3/[2(2-x)]-2。由均值定理有y≥2√(3/2)-2=√6-2（当且仅当x=2-√6/2时等号成立）。

波斯猫猫

波斯猫猫 发表于 2021-12-27 11:40
题：梯形 ABCD 中 ∠B=∠C=90°，AB=BC=1，CD=2，Q,P 在 AD,CD 上，PQ=PB，求 PC 的最小值。

思路：作QM ...

当然，对（2-x-y）^2+x^2=y^2+1,也可化为关于x的一元二次方程，然后用判别式△≥0求解。

王守恩

Ysu2008 发表于 2021-12-26 20:49
这题有人发过，想不起是谁了。

谢谢Ysu2008！我们有：PQ垂直DA。则，延长DA,CB交于E，

\(EP=CE^2+CP^2=2^2+x^2\)

\(EP=QE^2+QP^2=(\sqrt{8}-\sqrt{x^2+1})^2+(\sqrt{x^2+1})^2\)

ccmmjj

这题我做过啦，主贴这个图好象就是我画的。

ccmmjj

我找到当时的记录了，不是记录在数学中国论坛的，是记录在我自己的QQ空间。

这是我当时做的两种解答。