在 ΔABC 内求作一点 P，从 P 向各边作垂线，垂足为 D,E,F，使得 AD,BE,CF 交于一点 Q

天山草

三角形 ABC 是任意三角形。在三角形内求作一点 P 使从 P 点向各边所引垂线的垂足与三角形各顶点的连线 AD、BE、CF 能够恰好交于一点 Q。满足这种条件的 P 点只有一个还是可以有多个？

kanyikan

满足方程：
(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1
AF^2+BD^2+CE^2=BF^2+CD^2+AE^2
对一个三角形，至少有两个这样的点，1)P=外心，Q=重心；2)P=Q=垂心。

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记三角形各边长度为 BC = a,  AC = b,  AB = c,   0 到 1 之间的实数  t、u、v  确定了定比分点 D、E、F  的位置。

即  BD = a t,  DC = a (1 - t);   CE = b u,   EA = b (1 - u);   AF = c v,   FB = c (1 - v)。

例如在主贴图中给定  a = 1.55903;  b = 1.09884;  c = 1.99089;  在 BC 上任意选定一点 D，可测出  t = 0.715233，

然后按下述公式可算出  u = 0.365101,   v = 0.40911。从而就确定了 E 点和 F 点的位置，也就确定了 P 点的位置。

u = u(t)  和  v = v(t) 的函数及函数图像如下：

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下面这个截图是【初等数学讨论】网站站长 kuing 发的 P 点的轨迹图。原图是动态图，文件超过 500k 传输太慢，下面只是一个截图。原图见 http://kuing.orzweb.net/viewthre ... &extra=page%3D1

下面这个轨迹图是当三角形是边长为 3、4、5 的直角三角形时 P 点的轨迹。这是一条三次曲线，据说叫做 “达布三次曲线”。有定理：当 AD、BE、CF  共点时 P 点一定在达布曲线上。

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