梅森素数2^p-1

太阳

已知：整数a>0，c>0，f＞0，素数k>0，p>0，f=2^p-2，(a^f-1)/(2^p-1)=c，求证：2^p-1＝k

费尔马1

假设老师的这个题是正确的，那么，梅森素数就有了公式了，至今数学家才找到了有限个梅森素数啊！所以，您的这个题不可能正确吧？冒犯之处还望海涵！

yangchuanju

令a=2,f=a
已知：整数a＞0，c＞0，素数k＞0，p＞0，a＝2^p-2，(2^a-1)/(2^p-1)＝c，
求证：2^p-1＝k
解：a＝2^p-2，a/2=2^(p-1)-1，(2^a-1)=2^(2^p-2)-1=2^(2^(p-1)-1)^2-1=[2^(2^(p-1)-1)+1]*[2^(2^(p-1)-1)-1]
令p=2，则2^p-1=3，a=2，(2^a-1)/(2^p-1)=[2^(2^(p-1)-1)+1]*[2^(2^(p-1)-1)-1]/(2^p-1)=[2^0+1]*[2^0-1]/3=3*0/3，能整除，2^p-1=3是素数；
令p=3，则2^p-1=7，a=6，(2^a-1)/(2^p-1)=[2^(2^(p-1)-1)+1]*[2^(2^(p-1)-1)-1]/(2^p-1)=[2^3+1]*[2^3-1]/7=9*7/7，能整除，2^p-1=7是素数；
令p=5，则2^p-1=31，a=30，(2^a-1)/(2^p-1)=[2^(2^(p-1)-1)+1]*[2^(2^(p-1)-1)-1]/(2^p-1)=[2^15+1]*[2^15-1]/31=32769*32767/31，第2因子能整除，2^p-1=31是素数；
令p=7，则2^p-1=127，a=126，(2^a-1)/(2^p-1)=[2^(2^(p-1)-1)+1]*[2^(2^(p-1)-1)-1]/(2^p-1)=[2^63+1]*[2^63-1]/127=9223372036854775809*9223372036854775807/127，第2因子能整除，2^p-1=127是素数；

令p=11，则2^p-1=2047，a=2046，(2^a-1)/(2^p-1)=[2^(2^(p-1)-1)+1]*[2^(2^(p-1)-1)-1]/(2^p-1)=[2^1023+1]*[2^1023-1]/2047；
2^1023+1
=89884656743115795386465259539451236680898848947115328636715040578866337902750481566354238661203768010560056939935696678829394884407208311246423715319737062188883946712432742638151109800623047059726541476042502884419075341171231440736956555270413618581675255342293149119973622969239858152417678164812112068609
2^1023-1=
89884656743115795386465259539451236680898848947115328636715040578866337902750481566354238661203768010560056939935696678829394884407208311246423715319737062188883946712432742638151109800623047059726541476042502884419075341171231440736956555270413618581675255342293149119973622969239858152417678164812112068607
(2^1023-1)/2047=
43910433191556324077413414528310325686809403491507244082420635358508225648632379856548235789547517347611166067384316892442303314317151104663616861416578926325786002302116630502272159160050340527467777956053982845343954734328886878718591380200495172731643993816459769965790729345012143699275856455697172481
第2因子能整除，2^p-1=2047=23*89不是素数。

太阳先生的梅森素数公式和梅森素数新公式都不成立！！！！！！！！！！

太阳

a=2有反例，a＝3，找不到反例

yangchuanju

太阳 发表于 2021-12-30 16:10
a=2有反例，a＝3，找不到反例

太阳先生认为，只要：整数a＞0，c＞0，素数k＞0，p＞0，a＝2^p-2，(2^a-1)/(2^p-1)＝c，则2^p-1＝k既是一个梅森素数。
姑且认为太阳猜想正确。

已知第51号梅森素数是2^82589933-1（即2的82589933次方减1）；该素数有24862048位。要检验这个大梅森素数，需检查[2^(2^82589931-2)-1]/ (2^82589931-1)是不是整数；若是整数，2^82589931-1是梅森素数，否则不是梅森素数。
(2^82589931-2)也是24862048位数，2^8=256，(2^82589931-2)可能是3*10^24862047；2^(3*10^24862047)约为10^24862047位数。
请问太阳先生，如何判断一个10^24862047位数除以一个24862048位数的商是不是整除？

在51号梅森素数附近的梅森素数间距约为3000万，内有150万个素数（按5%估算），请问如何判断这150万个梅森数中的哪一个是第52号梅森素数？

yangchuanju

找到超过一亿位的梅森素数 奖你十五万美元
https://tieba.baidu.com/p/3905869070

据最新一期德国《探索》月刊报道，自从2013年1月美国数学家柯蒂斯•库珀找到迄今人类已知的最大梅森素数2^57885161－1(即2的57885161次方减去1，有17425170位数)以来，全球已有187个国家和地区近60万人使用超过100万台计算机联网来寻找新的更大的梅森素数。凡是第一个找到超过1亿位的梅森素数的个人或机构，将获得国际非营利性组织——电子前沿基金会（EFF）颁发的15万美元奖金。
　　梅森素数是指形如2^P－1(其中指数P为素数）的特殊素数；它是以17世纪法国神学家、哲学家和数学家马林•梅森的姓氏来命名的，因为他对这种素数做了大量的研究工作。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就用反证法证明了素数有无穷多个，并提出了少量素数可写成2^P－1的形式。由于梅森素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多数学家（包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等）和无数业余数学爱好者对它进行探究。近百年来人们找到的巨大素数几乎都是梅森素数。迄今为止，人类仅找到48个梅森素数；这种素数珍奇而迷人，因此被誉为“数海明珠”。

wlc1

太阳

\(先看一个例1:2^{37}-1＝\left( 37\times6+1\right)\times\left( 37\times16657248+1\right)=223\times616318177\)
\(大到小顺序数排列取c值，试除法，\frac{2^{37}-1}{37\times c}＝\frac{2^{37}-1}{37\times16657248+1}=223，这样先得到大素数37\times16657248+1\)
\(大到小顺序数排列取c值，试除法，\frac{2^{761838257287}-1}{761838257287\times c}＝e，这样先得到大素数\)
\(2^{161838257287}-1，必定含有1亿位大素数，c先取大数，试除法，找1亿位大素数，难度不大\)

太阳

太阳

\(先看一个例1:2^{37}-1＝\left( 37\times6+1\right)\times\left( 37\times16657248+1\right)=223\times616318177\)
\(大到小顺序数排列取c值，试除法，\frac{2^{37}-1}{37\times c}＝\frac{2^{37}-1}{37\times16657248+1}=223，这样先得到大素数37\times16657248+1\)
\(大到小顺序数排列取c值，试除法，\frac{2^{761838257287}-1}{761838257287\times c}＝e，这样先得到大素数\)
\(2^{161838257287}-1，必定含有1亿位大素数，c先取大数，试除法，找1亿位大素数，难度不大\)