ABCD 为正方形，ABEFG 为正五边形，CG 与 DF 交于一点 P ，证明：x=∠CPD=45°

denglongshan

正方与正五边形，谁能用纯几何方法证明？



证明：x=45度，并且交点在圆上。

代数或三角容易，纯几何方法证明太难

lihp2020

交于圆上 就有一定是45°了

lihp2020

正方形对角线相连  焦点一定是圆心  正方形对角线相互垂直 圆心角 等于圆周角的一半

kanyikan

好题啊，赞一个@denglongshan

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。

王守恩

kanyikan 发表于 2022-1-2 22:24

\(过F作水平线交CD于O,记AB=\sin(36)\ CO=\sin(18)\cos(18)\ DF=\cos(18)\ OF=\cos^2(18)\)
\(由下解得x=∠FBC+∠EAD=①+(①+②)=45\)
\(\frac{AF}{\sin(18)}=\frac{\cos(18)}{\sin①}\ \ \ \ \frac{AF}{\sin(54+①+②)}=\frac{\sin(36)}{\sin②}\)
\(其中:AF^2=(\sin(18)\cos(18))^2+(\cos^2(18)+\sin(36))^2\)

王守恩

王守恩 发表于 2022-1-3 09:56
\(过F作水平线交CD于O,记AB=\sin(36)\ CO=\sin(18)\cos(18)\ DF=\cos(18)\ OF=\cos^2(18)\)
\(由下解得x ...

\(8楼看懂，再看这里。过F作水平线交CD于O,垂直线GE交OF于H,HF=\sin^2(36)\)

\(x=180-\tan^{-1}\frac{\sin(36)+\cos^2(18)}{\sin(18)\cos(18)}-\tan^{-1}\frac{\sin(36)+\cos^2(18)-\sin^2(36)}{\sin(18)\cos(18)+\cos(18)/2}=45\)

denglongshan

复数方法，类似于解析几何。