太阳梅森素数新公式验证

yangchuanju

太阳梅森素数新公式验证
太阳先生给出[3^a-1]/(2^p-1) 只要能整除，则2^p-1就是素数，其中a=2^p-2；
改写一下即为：[3^(2^p-2)-1]/(2^p-1)只要能整除，则2^p-1就是素数。

yangchuanju

验证：
p=3，a=2^3-2=8-2=6；3^(2^p-2)-1=3^6-1=[3^3-1]*[3^3+1]=26*28，能整除2^p-1=2^3-1=7，7是素数，符合太阳规律。
p=5，a=2^5-2=32-2=30；3^(2^p-2)-1=3^30-1=2^3*7*11^2*13*31*61*271*4561，能整除2^p-1=2^5-1=31，31是素数，符合太阳规律。
p=7，a=2^7-2=128-2=126；3^(2^p-2)-1=3^126-1=(3^63-1)*(3^63+1)
=2^3*7^2*13*19*37*43*127*547*757*883*1093*2269*2521*368089*550554229*144542918285300809<18>，
能整除2^p-1=2^7-1=127，127是素数，符合太阳规律。

p=11，a=2^11-2=2048-2=2046；3^(2^p-2)-1=3^2046-1=(3^1023-1)*(3^1023+1)
=2^3*7*13*23*67*373*661*683*1117*3851*4093*6883*25411*102673*176419*541447*3058399*4404047*2413941289<10>*22434744889<11>*82325575332463<14>*88239050462461<14>*1885509351367839781<19>*916226106737897927533<21>*26273701844015319144827917<26>*9484546040170844481070590623<28>*1575155207429963661696683189664217<34>*19174858828306360645533450526720857649051<41>*19337980565378171534889993094421861389450501<44>*8578748629...31<60>*3856406327...87<75>*2350873793...71<112>*9680192867...09<125>*2706769181...81<287>，
不能整除2^p-1=2^11-1=2047=23*89，而2^11-1=2047是合数，亦符合太阳规律。

p=13，a=2^13-2=8192-2=8190；3^(2^p-2)-1=3^8190-1=(3^4095-1)*(3^4095+1)
= 2^3*7^2*11^2*13^2*19*31*37*43*61*71*79*127*131*157*181*211*271*313*421*547*631*757*883*911*937*1051*1093*1171*1621*2269*2341*2521*2731*2887*4561*6301*6553*7333*8191*8737*10141*16381*24151*24571*28393*30577*37441*42589*54601*368089*387631*398581*595141*692641*755551*797161*927001*1571221*1616161*2161927*3369031*3454081*3701101*4162861*7754293*14141401*27362791*39838501*40763971*43264261*60999121*70755931*195274171*419437201*550554229*1846794457<10>*2664097031<10>*4011586307<10>*6079786129<10>*26751945361<11>*54975287251<11>*56827980301<11>*149929041991<12>*374857981681<12>*386134706231<12>*1636991658121<13>*2354116499281<13>*2452788561133<13>*3785998525531<13>*14304604474441<14>*28546729429051<14>*30516557898331<14>*56919999055921<14>*110133112994711<15>*134825306053231<15>*299206882452661<15> *3018697947220411<16>*33635567483907481<17>*39990806458965181<17>*144542918285300809<18>*879687739198168741<18>*2821964307371847613<19>*5953777759294129441<19>*39685911678305092747<20>*2148920356182437964673<22>*18051592808807180134513<23>*105919308797935444986721<24>*281658031171731163109161<24>*3745603812007166116831643<25>*116316232310512260008605351<27>*2478098909059595945200318151<28>*518543558494289748812885629501<30>*818411446263918344321557393321<30>*6812412941375622618779314907881<31>*232677285756130780825034268661441<33>*54487360321244902700971678251914929<35>*98139929939748977208994554331725481<35>*4146529480141085552856960331478872471<37>*211129531469719015134665952945643258111<39>*429904436524300318893386253327768167731<39>*1435809872133506127696992748549282318301<40>*126604556300856229489407320894384207524662780421<48>*1268391892...91<53>*3072911311...11<57>*3354221400...41<63>*2179272515...61<65>*1307917386...37<69>*1037603181...13<97>*1511062372...01<99>*2109456412...29<104>*6486178036...21<113>*3993810076...21<119>*3316088829...01<220>*5833843977...21<380>*1621189385...91<401>*9987060839...61<801>，
能整除2^p-1=2^13-1=8191，8191是素数，符合太阳规律。

yangchuanju

再验证
太阳先生给出[3^a-1]/(2^p-1) 只要能整除，则2^p-1就是素数，其中a=2^p-2；
改写一下即为：[3^(2^p-2)-1]/(2^p-1)只要能整除，则2^p-1就是素数。

[3^(2^p-2)-1]=3^2*[2^(p-1)-1]-1=3^[2^(p-1)-1]* 3^[2^(p-1)-1]-1
={3^[2^(p-1)-1]}^2-1={3^[2^(p-1)-1]-1}* {3^[2^(p-1)-1]+1}

令p=5，则[3^(2^p-2)-1]=3^(2^5-2)-1=3^(32-2)-1=3^30-1=(3^15-1)*(3^15+1)
或[3^(2^p-2)-1]=3^2*[2^(p-1)-1]-1=3^2*[2^4-1]-1=3^2*15-1=(3^15)^2-1=(3^15-1)*(3^15+1)
或[3^(2^p-2)-1] ={3^[2^(p-1)-1]-1}* {3^[2^(p-1)-1]+1}={3^[2^4-1]-1}*{3^[2^4-1]+1}={3^15-1}*{3^15+1}
3^30-1=2^3*7*11^2*13*31*61*271*4561
3^30-1=3^2*3^3*3^5-1=(3^3*3^5-1)*(3^3*3^5+1)
= (2*11^2*13* 4561)*( 2^2*7*31*61*271)
或3^30-1=3^2*3^3*3^5-1=(3^2*3^5-1)*[(3^2*3^5)^2+(3^2*3^5)+1]
=( 2^3*11^2*61)*( 7*13*31*271*4561)
或3^30-1=3^2*3^3*3^5-1=(3^2*3^3-1)*[(3^2*3^3)^4+(3^2*3^3)^3+(3^2*3^3)^2+(3^2*3^3) +1]
=( 2^3*7*13)*( 11^2*31*61*271*4561)
素数2^5-1=31含在复合因子(3^3*3^5+1)、[(3^2*3^5)^2+(3^2*3^5)+1]和[(3^2*3^3)^4+(3^2*3^3)^3+(3^2*3^3)^2+(3^2*3^3) +1]之中。
[3^(2^p-2)-1]=3^(2^5-2)-1=3^(32-2)-1=3^30-1可整除素数2^5-1=31。
容易查证，素数31在2^n-1中最先出现在n=5处，以后每隔5又出现一次，即n=5s时都含有素因子31；
同时素数31在3^m-1中最先出现在m=30处，以后每隔30又出现一次，即m=30t时都含有素因子31；
令t=1，m=30=2^5-2，5是素数；t=2，m=60，没有对应的2^p-2；t=3，m=90，也没有对应的2^p-2；……
令s=1，n=5，2^5-1=31是素数；s=2，n=10，2^10-1=1023 =3*11*31不是素数；s=5，n=15，2^15-1=32767 =7*31*151也不是素数；……
s等于其它数值时2^5s-1都含有素因子31，不会再是素数；尽管5s=5*30=150=30*5=30t时3^150-1= 2^3*7*11^2*13*31*61*151*271* 601*2551*4561*8951*9601*26251*119101*391151*1530601*22996651*2098303812601<13>含有素因子31，但它不再是2^p-2，其分母也不是梅森数2^p-1。

yangchuanju

同样令p=3，可以查证，素数7在2^n-1中最先出现在n=3处，以后每隔3又出现一次，即n=3s时都含有素因子7；
素数7在3^m-1中最先出现在m=6处，以后每隔6又出现一次，即m=6t时都含有素因子7；
令t=1，m=6=2^3-2，3是素数；t=2，m=12， 3^12-1=531440，2^19-2= 524286，2^20-2=1048574，没有对应的2^p-2；t=3，m=18，3^18-1=387420488，2^28-2=268435454，2^29-2=536870910，也没有对应的2^p-2；……
令s=1，n=3，2^3-1=7是素数；s=2，n=6，2^6-1=63 =3*3*7不是素数；s=3，n=9，2^9-1=511 =7*73也不是素数；……
s等于其它数值时2^3s-1都含有素因子7，不会再是素数；尽管3s=3*6=18=6*3=6t时3^18-1=387420488=2*2*2*7*13*19*37*757含有素因子7，但它不再是2^p-2，其分母也不是梅森数2^p-1。

类似地令p=7，可以查证，素数127在2^n-1中最先出现在n=7处，以后每隔7又出现一次，即n=7s时都含有素因子127；
素数127在3^m-1中最先出现在m=126处，以后每隔126又出现一次，即m=126t时都含有素因子127；
令t=1，m=126=2^7-2，7是素数；t=2，m=252， 3^252-1=……，没有对应的2^p-2；t=3，m^378，3^378-1=……，也没有对应的2^p-2；……
令s=1，n=7，2^7-1=127是素数；s=2，n=14，2^14-1=16383 =3*43*127不是素数；s=3，n=21，2^21-1= 2097151 =7*7*127*337也不是素数；……
s等于其它数值时2^7s-1都含有素因子127，不会再是素数；尽管7s=7*126=882=126t时3^882-1=……含有素^127，但它不再是2^p-2，其分母也不是梅森数2^p-1。

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令p=11，则[3^(2^p-2)-1]=3^(2^11-2)-1=3^(2048-2)-1=3^2046-1=(3^1023-1)*(3^1023+1)
或[3^(2^p-2)-1]=3^2*[2^(p-1)-1]-1=3^2*[2^10-1]-1=3^2*1023-1=(3^1023)^2-1=(3^1023-1)*(3^1023+1)
或[3^(2^p-2)-1] ={3^[2^(p-1)-1]-1}* {3^[2^(p-1)-1]+1}={3^[2^10-1]-1}*{3^[2^10-1]+1}={3^1023-1}*{3^1023+1}
3^2046-1=2^3*7*13*23*67*373*661*683*1117*3851*4093*6883*25411*102673*176419*541447*3058399*4404047*2413941289<10>*22434744889<11>*82325575332463<14>*88239050462461<14>*1885509351367839781<19>*916226106737897927533<21>*26273701844015319144827917<26>*9484546040170844481070590623<28>*1575155207429963661696683189664217<34>*19174858828306360645533450526720857649051<41>*19337980565378171534889993094421861389450501<44>*8578748629...31<60>*3856406327...87<75>*2350873793...71<112>*9680192867...09<125>*2706769181...81<287>，
1023=3*11*31，2046=2*3*11*31=2*1023=3*682=11*186=31*66；2047=23*89

3^2046-1=3^2*3^3*3^11*3^31-1=(3^1023-1)*(3^1023+1)
=(2*13*23*683*1117*3851*4093*102673*4404047*2413941289<10>*26273701844015319144827917<26>*9484546040170844481070590623<28>*2350873793...71<112>*2706769181...81<287>)*(2^2*7*67*373*661*6883*25411*176419*541447*3058399*22434744889<11>*82325575332463<14>*88239050462461<14>*1885509351367839781<19>*916226106737897927533<21>*1575155207429963661696683189664217<34>*19174858828306360645533450526720857649051<41>*19337980565378171534889993094421861389450501<44>*8578748629...31<60>*3856406327...87<75>*9680192867...09<125>)
或3^2046-1=3^2*3^3*3^11*3^31-1=(3^682-1)*[(3^682)^2+(3^682)+1]
=(2^3*23*67*661*683*3851*4093*6883*102673*4404047*22434744889<11>*1885509351367839781<19>*9484546040170844481070590623<28>*2350873793...71<112>*9680192867...09<125>)*(7*13*373*1117*25411*176419*541447*3058399*2413941289<10>*82325575332463<14>*88239050462461<14>*916226106737897927533<21>*26273701844015319144827917<26>*1575155207429963661696683189664217<34>*19174858828306360645533450526720857649051<41>*19337980565378171534889993094421861389450501<44>*8578748629...31<60>*3856406327...87<75>*2706769181...81<287>)
或3^2046-1=3^2*3^3*3^11*3^31-1=(3^186-1)*[(3^186)^10+(3^186)^9+…+(3^186)^2+(3^186) +1]
=(2^3*7*13*373*683*1117*6883*102673*541447*3058399*4404047*22434744889<11>*88239050462461<14>*26273701844015319144827917<26>)*(23*67*661*3851*4093*25411*176419*2413941289<10>*88239050462461<14>*1885509351367839781<19>*916226106737897927533<21>*9484546040170844481070590623<28>*1575155207429963661696683189664217<34>*19174858828306360645533450526720857649051<41>*19337980565378171534889993094421861389450501<44>*8578748629...31<60>*3856406327...87<75>*2350873793...71<112>*9680192867...09<125>*2706769181...81<287>)
或3^2046-1=3^2*3^3*3^11*3^31-1=(3^66-1)*[(3^66)^30+(3^66)^29+…+(3^66)^2+(3^66) +1]
=(2^3*7*13*23*67*661*3851*25411*176419*2413941289<10>)*(373*683*1117*4093*6883*102673*541447*3058399*4404047*22434744889<11>*82325575332463<14>*88239050462461<14>*1885509351367839781<19>*916226106737897927533<21>*26273701844015319144827917<26>*9484546040170844481070590623<28>*1575155207429963661696683189664217<34>*19174858828306360645533450526720857649051<41>*19337980565378171534889993094421861389450501<44>*8578748629...31<60>*3856406327...87<75>*2350873793...71<112>*9680192867...09<125>*2706769181...81<287>)
合数2^11-1=2047=23*89仅有一个素因子23含在复合因子(3^1023-1)、(3^682-1) 、[(3^186)^10+(3^186)^9+…+(3^186)^2+(3^186) +1]和(3^66-1)之中。
[3^(2^p-2)-1]=3^(2^11-2)-1=3^(2048-2)-1=3^2046-1不可整除合数2^11-1=2047=23*89。

yangchuanju

容易查证，复合因子2047在2^n-1中最先出现在n=11处，以后每隔11又出现一次，即n=11s时都含有素因子2047=23*89；
复合因子2047中的23在3^m-1中最先出现在m=11处，以后每隔11又出现一次，即m=11t时都含有素因子23；
复合因子2047中的89在3^m-1中最先出现在m=88处，以后每隔88又出现一次，即m=88t时都含有素因子89；
虽然复合因子2047中的23和89在3^m-1中最先出现在m=88处，以后每隔88又出现一次，即m=88t时同时含有素因子23和89；
但是88、176等都不是2046的因子，故23和89不同时是3^2046-1的素因子。


经验证，虽然对于较小的一些p=3,5,7,11，当2^p-1是素数时，3^(2^p-2)-1可被2^p-1整除；
当2^p-1不是素数时，3^(2^p-2)-1不能被2^p-1整除。
【另验证了p=13和17，符合上述规律；但对于p=19和23已经验证不了啦】
仅根据有限的几个小素数，谁能保证当2^p-1是其它梅森素数时，3^(2^p-2)-1都可被2^p-1整除？
谁能保证当2^p-1不是梅森素数时，3^(2^p-2)-1都不能被2^p-1整除？

一般地说：当2^p-1是素数时，它是合数3^(2^p-2)-1素因子的几率较大些，也可能被素数2^p-1整除；
而当2^p-1是合数时，它的所有素因子同时都是合数3^(2^p-2)-1素因子的几率较小些，整除不易发生。

yangchuanju

悬案：
p=19，a=2^19-2=524288-2=524286；
3^(2^p-2)-1=3^524286-1=3^(2*3*3*3*7*19*73)-1=……
能整除2^p-1=2^19-1= 524287吗？524287是素数，符合太阳规律吗？

p=23，a=2^23-2=8388608-2=8388606；
3^(2^p-2)-1=3^8388606-1=3^(2*3*23*89*683)-1=……
不能整除2^p-1=2^23-1=8388607吗？8388607=47*178481是合数，符合太阳规律吗？
P=23的各个式子中仅有素因子47，不能整除178471。

p=29，a=2^29-2=536870912-2=536870910；
3^(2^p-2)-1=3^536870910-1=3^(2*3*5*29*43*113*127)-1=……
不能整除2^p-1=2^29-1=536870911吗？536870911=233*1103*2089是合数，符合太阳规律吗？

p=31，a=2^31-2=2147483648-2=2147483646；
3^(2^p-2)-1=3^2147483646-1=3^(2*3*3*7*11*31*151*331)-1=……
能整除2^p-1=2^31-1= 2147483647吗？2147483647是素数，符合太阳规律吗？

p=37，a=2^37-2=137438953472-2=137438953470；
3^(2^p-2)-1=3^137438953470-1=3^(2*3*3*3*5*7*13*19*37*73*109)-1=……
不能整除2^p-1=2^37-1= 137438953471<12>吗？137438953471<12>=223*616318177合数，符合太阳规律吗？

p=41，a=2^41-2=2199023255552-2=2199023255550；
3^(2^p-2)-1=3^2199023255550-1=3^(2*3*5*5*11*17*31*41*61681)-1=……
不能整除2^p-1=2^41-1=2199023255551<13>吗？2199023255551<13>=13367*164511353是合数，符合太阳规律吗？

p=43，a=2^43-2=8796093022208-2=8796093022206；
3^(2^p-2)-1=3^8796093022206-1=3^(2*3*3*7*7*43*127*337*5419)-1=……
不能整除2^p-1=2^43-1=8796093022207<13>吗？8796093022207<13>=431*9719*2099863是合数，符合太阳规律吗？

p=47，a=2^47-2=140737488355328-2=140737488355326；
3^(2^p-2)-1=3^140737488355326-1=3^(2*3*47*178481*2796203)-1=……
不能整除2^p-1=2^47-1=140737488355327<15>吗？140737488355327<15>=2351*4513*13264529合数，符合太阳规律吗？

p=53，a=2^53-2=9007199254740992-2=9007199254740990；
3^(2^p-2)-1=3^9007199254740990-1=3^(2*3*5*53*157*1613*2731*8191)-1=……
不能整除2^p-1=2^53-1=9007199254740991<16>吗？9007199254740991<16>=6361*69431*20394401是合数，符合太阳规律吗？

p=59，a=2^59-2=576460752303423488-2=576460752303423486；
3^(2^p-2)-1=3^576460752303423486-1=3^(2*3*59*233*1103*2089*3033169)-1=……
不能整除2^p-1=2^59-1=576460752303423487<18>吗？576460752303423487<18>=179951*3203431780337<13>是合数，符合太阳规律吗？

p=61，a=2^61-2=2305843009213693952-2=2305843009213693950；
3^(2^p-2)-1=3^2305843009213693950-1=3^(2*3*3*5*5*7*11*13*31*41*61*151*331*1321)-1=……
能整除2^p-1=2^61-1= 2305843009213693951<19>吗？2305843009213693951<19>是素数，符合太阳规律吗？

yangchuanju

试验证p=19，a=2^19-2=524288-2=524286；
分子3^(2^p-2)-1=3^524286-1=3^(2*3*3*3*7*19*73)-1

解法一：
3^(2^p-2)-1=3^524286-1=3^(2*3*3*3*7*19*73)-1=[3^(3*3*3*7*19*73)-1]*[ 3^(3*3*3*7*19*73)+1]
仅分解第2大复合因子
[3^(3*3*3*7*19*73)+1]=[3^(3*3*3*7*19)+1]*[3^(3*3*3*7*19)^72-3^(3*3*3*7*19)^71+…-3^(3*3*3*7*19)+1]
=[3^(3*3*3*7)+1]*[3^(3*3*3*7)^18-3^(3*3*3*7)^17+…-3^(3*3*3*7)+1]*[…]
=[3^(3*3*3)+1]*[ 3^(3*3*3)^6-3^(3*3*3)^5+…-3^(3*3*3)+1]*[…]*[…]
=[3^(3*3)+1]*[3^(3*3)^2-3^(3*3)+1]*[…]*[…]*[…]
=[3^3+1]*[3^3^2-3^3+1]* [3^(3*3)^2-3^(3*3)+1]*[…]*[…]*[…]
=[3+1]*[3^2-3+1]* [3^3^2-3^3+1]* [3^(3*3)^2-3^(3*3)+1]*[…]*[…]*[…]
第1因子等于4；
第2因子等于7；
第3因子等于27^2-27+1=703=19*37；
第4因子等于3^9^2-3^9+1=387400807=19441*19927；
第5因子[ 3^(3*3*3)^6-3^(3*3*3)^5+…-3^(3*3*3)+1]=3^27^6-3^27^5+…-3^27+1]
=7625597484987^6-7625597484987^5+…-7625597484987+1
=196627050475552913618075908526912116283103450944214766927315415537966391196809
-25785133671514281396116148947909178321838248752307264505595053707
+3381391913522726342930221472392241170198527451848561
-443426488243037769948249630619149892803
+58149737003040059690390169
-7625597484987+1
196627050475527128484404394245516000134155541765892928678563108273460796143102
196627050475527128484404397626907913656881884696114401070804278471988247991663
196627050475527128484404397626907913656438458207871363300856028841369098098860
196627050475527128484404397626907913656438458207871421450593031881428788489029
196627050475527128484404397626907913656438458207871421450593031873803191004042
=196627050475527128484404397626907913656438458207871421450593031873803191004043
=7*43*127*379*547*883*2269*2521*84673*30354157*550554229*60439117411*57437711317851941680421581

第6因子[3^(3*3*3*7)^18-3^(3*3*3*7)^17+…-3^(3*3*3*7)+1]
3*3*3*7=189，3^189=
1499398741586788200414239710724876101933611366003344657118522818557991334322919287339806483——91位
向下不易计算！

第7因子[3^(3*3*3*7*19)^72-3^(3*3*3*7*19)^71+…-3^(3*3*3*7*19)+1]
3*3*3*7*19=3591，3^3591=
2200015285691327360671217948615741911189854317509353720943624010029577989974175654165819040767459209779211045635462934233910271876542249330574377120484729088314348649826592808652220414490443217260897361942716088060103993599591743058648882252063237376452947704056375823296196537531556043317268088194453752109189163383425871656542977239313261205548457558143136736458334721315197430336872086678256009741273077527961063924444870874214041070926103080804507868041906425462740332277675331839355290830540148195777388649967499801234251898594554994457756400299045137343165852592846750506133536489902207139822307984770615136589949567398628321217392254269372009889842414593971035989570937490467934511274592341725229351352815972733527778639878116802990470906332903940615604079294017487602420453005398743578015885284018053126431932702035734399495725046244290617053568458385637065440715342521384852244653982883297192014534465797955175538656501083360249802552921891556935474194582549408177961745369732608326611196797742279479258166807397513466972107838584411082364326154616582630848929769838851286734596674363843470171976709458872290503153844226653709033925422721469850766732969865073002987849180669290105100417223098996983922380446907839872470808277654216579217160377175887141261225214907139997263758280683777137450739684907488613004685651700095079221636719092938450079106345374511508191078997993966699389400621111915981572764437381606634554479706443261301501498630686702699494722463657454110245422666804274541116609538106354600319270870848598136145107356161810029422921697040829446481483467910805577793085872730321654236159231227397533616534260049536186017515863674048504413653161549532232843738434390071228490452456992414814347——1714位
向下无法计算！

yangchuanju

改用解法二：
[3^(3*3*3*7*19*73)+1]=[3^(3*3*7*19*73)+1]*[3^(3*3*7*19*73)^2-3^(3*3*7*19*73)+1]
=[3^(3*7*19*73)+1]*[3^(3*7*19*73)^2-3^(3*7*19*73)+1]*[…]
=[3^(7*19*73)+1]*[ 3^(7*19*73)^2-3^(7*19*73)+1]*[…]*[…]
=[3^(19*73)+1]*[3^(19*73)^6-3^(19*73)^5+…-3^(19*73)+1]*[…]*[…]*[…]
=[3^73+1]*[3^73^18-3^73^17+…-3+1]* […]*[…]*[…]*[…]
=[3+1]*[3^72-3^71+…-3+1]*[…]*[…]*[…]*[…]*[…]
第1因子等于4；
第2因子[3^72-3^71+…-3+1]等于？
第3因子[3^73^18-3^73^17+…-3+1]等于？
第4因子[3^(19*73)^6-3^(19*73)^5+…-3^(19*73)+1]等于3^1387^6-3^1387^5+…-3^1387+1=？
第5因子[ 3^(7*19*73)^2-3^(7*19*73)+1]等于3^9709^2-3^9709+1=？
第6因子[ 3^(3*7*19*73)^2-3^(3*7*19*73)+1]等于3^29127^2-3^29127+1=？
第7因子[ 3^(3*3*7*19*73)^2-3^(3*3*7*19*73)+1]等于3^87381^2-3^87381+1=？

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