与大傻一起探讨素数p的分布规律

yangchuanju

大傻老师：新年好！

yangchuanju

与大傻一起探讨素数p的分布规律

大傻8888888  2022-1-25 11:35在《梅森数探讨点滴  广义梅森素数表》之36楼写道：
应该是不管任何素数p，素因子p第一次出现在2^(p-1)-1中，以后指数每增大p-1，又出现一次。比如素数7，第一次出现在2^(7-1)-1中，以后指数每增大6，又出现一次。

2022-1-27 10:47在51楼写道：
我在28楼的回复不准确。
任何素数或者素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。只不过为什么是这样，具体成立不成立我暂时还不能证明。不知哪位先生可以证明？

2022-1-27 15:58在56楼写道：
我在51楼的回复确实仍然不准确。
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果p不是梅森素数，则素因子p第一次出现在2^[(p-1)/2]-1中，以后指数每增大(p-1)/2，又出现一次。

2022-1-27 19:51在59楼又写道：
56楼应该增加如下：
3.如果2^n-1是若干个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n这所有素数的素因子都会再次出现。
或者干脆把56楼改为：
1.如果2^n-1是梅森素数，则这个梅森素数的素因子p第一次出现在2^(2n)-1中，以后指数每增大n又出现一次。
2.如果2^n-1是若干个大于等于两个素数之积，其中所有大于等于2n+1的素数在指数每增加n时，这所有素数的素因子都会再次出现。
当然如果还有反例出现，则2有可能不成立。

yangchuanju

现综合回复如下：
任一个素数p在2^n-1中第一次出现在n-1或n-1的某个约数时，设出现时的n=k，则素因子p一旦出现，以后指数n每增加k素因子p都再出现一次，没有反例存在。文中p是奇素数，n是大于等于2的正整数，k是大于等于1的正整数。
素因子3第一次出现在2^2-1之中，以后n每增加2重复出现一次，k等于1；
素因子5第一次出现在2^4-1之中，以后n每增加4重复出现一次，k等于1；
素因子7第一次出现在2^3-1之中，以后n每增加2重复出现一次，k等于2；
素因子11第一次出现在2^10-1之中，以后n每增加10重复出现一次，k等于1；
素因子23第一次出现在2^11-1之中，以后n每增加11重复出现一次，k等于2；
素因子89第一次出现在2^11-1之中，以后n每增加11重复出现一次，k等于8；
素因子31第一次出现在2^5-1之中，以后n每增加5重复出现一次，k等于6；
……

yangchuanju

素数23和89是梅森数2^11-1的一对素因子，第一次出现在n=11时，以后指数n每增加11，同时出现一次；
素数47和 178481是梅森数2^23-1的一对素因子，第一次出现在n=23时，以后指数n每增加23，同时出现一次；
素数233、1103和2089是梅森数2^23-1的3个素因子，第一次同时出现在n=29时，以后指数n每增加29，同时出现一次；

素数7,31,151第一次同时出现在n=15时，以后指数n每增加15，同时出现一次；其中素数7第一次出现在n=3时，以后指数n每增加3出现一次；素数31第一次出现在n=5时，以后指数n每增加5出现一次；素数151第一次出现在n=15时，以后指数n每增加15出现一次；
……

yangchuanju

将底数2（也称基数）换成其它大于2的正整数底数，素数的分布也有相同的规律。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-1-28 15:53
将底数2（也称基数）换成其它大于2的正整数底数，素数的分布也有相同的规律。

如果将底数2（也称基数）换成其它大于2的正整数底数a，指数n大于等于2时a^n-1得出只能是合数，不会是素数，当然组成合数的素数的素因子的分布也有相同的规律。所以不能把梅森素数底数2（也称基数）换成其它大于2的正整数底数。

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2022-1-29 10:17
如果将底数2（也称基数）换成其它大于2的正整数底数a，指数n大于等于2时a^n-1得出只能是合数，不会是素数 ...

要让b^n-1中有素数，还需除以b-1。(b^n-1)/(b-1)中的素数分布与2^n-1中的素数分布规律相同。
除不除b-1对素因子的分布规律无影响。