吃鱼悖论：难倒天下数学家

门外汉

吃鱼悖论：难倒天下数学家
假设有一个大鱼缸，现在我们设计一个小游戏：先假设鱼缸里一共有三条鱼，所有鱼用非0自然数依次一一编号，即1，2，3。游戏规则为：如果一条鱼遇到比它的编号小的鱼，它就将比它自己编号小的鱼吃掉，如果它遇到比自己编号大的鱼，那么它就会被比它编号大的鱼吃掉。
按照这样的游戏规则，最后的结果一定是，鱼缸里最后只剩下一条鱼，即编号最大的鱼，3号鱼。
假设鱼缸里一共有10条鱼，按照上述的游戏规则，鱼缸最后也一定是只剩下一条鱼，即最大编号的10号鱼。
假设鱼缸里有100条、1000条、10000条鱼，最后的结果都是一样的，鱼缸里最后只剩下一条最大编号的鱼。
现在我们做一个终极游戏：假设鱼缸里有无穷多条鱼，所有的鱼用自然数一一编号，依然是上述的游戏规则：编号大的鱼会吃掉编号小的鱼，编号小的鱼会被编号大的鱼吃掉，并且保证，仼何两条鱼都会相遇。
那么请大家想一下，鱼缸里最后会是什么情况？
按照前面所描述的内容，最常规的想法就是：鱼缸里最后只剩下一条鱼。
但这个答案却是错误的，真实的答案是，鱼缸里最后没有鱼，原因有两点：
（1）：在所有的自然数中，仼给一个自然数y，一定能找到比它大的自然数，例如y＋1就比y大。所以，仼何一条自然数编号的鱼，一定会遇到比它编号大的鱼从而被吃，所以，仼何一条鱼都会被吃掉，所以鱼缸里没有鱼。
（2）：假设鱼缸里还有鱼，那么它一定是编号最大的鱼，但根据自然数皮亚诺公理，不存在最大的自然数，所以也就不存在最大自然数编号的鱼，所以鱼缸里没有鱼。
请大家思考一下：鱼缸里怎么会吃得一条鱼都不剩的？就像你逆向思考一下：假设一个鱼缸里本来一条鱼都没有，也没有人往鱼缸里放鱼，忽然从鱼缸里游出一条大鱼来，那么，这条大鱼是怎么凭空多出来的？
可能有些“数学家”们会一副满不在乎的表情说，没有鱼就没有鱼呗，有什么大不了的？那就是小瞧这道题的威力了，因为这道题如果处理不好，那就会产生一个非常严重的后果：数学大厦轰然倒塌。

elim

鱼缸里不会有无穷条鱼，如果有，鱼吃鱼的过程人是看不到终结的．所以这个模型没有现实能行性．
但在数学中，对应的简化的模型可以是这样：
设 \(\{n_k\}\) 为依次被消失的数，过程的第\(k\)步的结果是\(R(k)=\mathbb{N}^+{\small\text{\ }}\{n_1,n_2,\ldots,n_k\}=\bigcap_{m=1}^kR(m)\)
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}R(n)=\bigcap_{k=1}^\infty R(k)=\varnothing.\) 毫无悬念．无悖可陈．

elim

主贴其实反映了实在世界是有穷世界，其中的一叨”操作”都是需要时间的，鱼吃鱼鱼也生鱼， 事情不按人的规则运行不足为怪，但数学在数量上可以描述现实，也可以描述超现实．

门外汉

elim 发表于 2022-2-7 15:38
鱼缸里不会有无穷条鱼，如果有，鱼吃鱼的过程人是看不到终结的．所以这个模型没有现实能行性．
但在数学中 ...

首先，这是一个类似于希尔伯特无穷旅馆的数学模型，本就没有现实意义。
第二，由吃鱼游戏的游戏设定，可知，无论鱼缸中的鱼是有限的还是无限的，都能保证鱼缸非空，具体来说就是，仼取鱼缸中两条自然数编号的鱼a和b，必有a≠b，将a和b比大小，小者从鱼缸中消失（被吃掉），大者留在鱼缸中，由此可知，无论什么情况下，鱼缸中至少会留下一条鱼，所以鱼缸永远不空。
但却推导出鱼缸为空（没有鱼），这便构成矛盾。

Ysu2008

无论有限集还是无限集，集合元素能一一对应，就说元素个数一样多。
“一样多”就是这样定义的，你要咋的？

elim

门外汉 发表于 2022-2-8 00:47
首先，这是一个类似于希尔伯特无穷旅馆的数学模型，本就没有现实意义。
第二，由吃鱼游戏的游戏设定，可 ...

在有限的时间内鱼缸永远不空。等价于无穷时间后鱼缸才空。所以出现屁个矛盾。

门外汉

elim 发表于 2022-2-8 09:15
在有限的时间内鱼缸永远不空。等价于无穷时间后鱼缸才空。所以出现屁个矛盾。

按照游戏规则，两鱼相遇，必有消失一个留一个，所以可以保证鱼缸永远不空，你似乎不认可这个结论啊。而且，你的回答没逻辑啊，你认为有限的情况不空无限的情况就空了，总得说明原因吧？

elim

门外汉 发表于 2022-2-8 03:01
按照游戏规则，两鱼相遇，必有消失一个留一个，所以可以保证鱼缸永远不空，你似乎不认可这个结论啊。而且 ...

任何编号的鱼在某个(有限)时刻必消失，所以无限时间后任何编号的鱼都消失。
但是永远只有有限长时间，所以只有有限条鱼被消失。

数学世界中没有时间，或数学操作不像鱼吃鱼耗时有正的下限。所以如果鱼缸里有无穷条鱼，那么鱼缸里永远有无穷多条鱼。

门外汉

elim 发表于 2022-2-8 12:22
任何编号的鱼在某个(有限)时刻必消失，所以无限时间后任何编号的鱼都消失。
但是永远只有有限长时间，所 ...

在我的印象中，e老师一直是坚定的实无穷论者，什么时候变成潜无穷论者了？
有不能消失的鱼吗？哪些鱼不能消失？

elim

假定第k秒有\(m_k\)条鱼被吃．于是经过n秒共有\(\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n m_k\) (有限)条鱼被吃．但初始条件鱼有无穷条(这是实无穷设定)，所以任何时候所剩鱼仍有无穷多．

这账不难算对吧？