菱形ABCD中∠A=60°，E∈CD，AE,BC交于F，BE,DF交于G，证：ΔDEG,ΔBCE外接圆交点∈AF

mrcombo

请教这个问题要怎么证明呢，感谢

kanyikan

只需证BCGD共圆即可，⊙DEG和⊙BCDG的根轴为DG，⊙BCE和⊙BCDG的根轴为BC，⊙DEG和⊙BCE的根轴为ME，然后用根心定理，BG、ME、BC必共点于F，所以M在AF上。

Future_maths

可以证明BCGD共圆。

Future_maths

三个两两不同心的圆
任意两圆形成一条根轴，因而共有三条根轴：
这三条根轴的直线方程（以下简称为根轴方程）是线性相关的，即由其中两个根轴方程进行线性组合，可以得出第三个根轴方程。因此：
（i）若平面上某一点是其中两个根轴方程的公共解（亦即两根轴的公共点），则必定也是第三条根轴上的点。
（ii）若某两个根轴方程无公共解（即平行），则三个根轴方程中的任意两个均无公共解（即三条根轴两两平行）。
具体而言，三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况：
（1）三根轴两两平行；
（2）三根轴完全重合；
（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。
上面所证明的即是“根心定理”。
以上用解析几何的方法证明了根心定理。在平面上，二元方程对应一条曲线，而方程组的解对应着曲线的公共点。利用这个思想，从根轴方程的线性相关性出发，容易得到平面几何上的根心定理。这种证明方法十分简单。

Future_maths

luyuanhong

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王守恩

\(记∠EFB=a,\ ∠EBF=b,\ ∠EDF=c,\ H为AE,BD的交点。\ 由下解得b=c，\ 即BCGD共圆。\)
\(1=\frac{\sin∠HAD\sin∠HBA\sin∠HEB\sin∠HDE}{\sin∠HAB\sin∠HBE\sin∠HED\sin∠HDA}
=\frac{\sin(a)\sin(60^\circ)\sin(a+b)\sin(60^\circ)}{\sin(60^\circ-a)\sin(60^\circ-b)\sin(60^\circ-a)\sin(60^\circ)}\)
\(1=\frac{\sin∠HAD\sin∠HBA\sin∠HFB\sin∠HDF}{\sin∠HAB\sin∠HBF\sin∠HFD\sin∠HDA}
=\frac{\sin(a)\sin(60^\circ)\sin(a)\sin(60^\circ+c)}{\sin(60^\circ-a)\sin(60^\circ)\sin(60^\circ-a-c)\sin(60^\circ)}\)

天山草

机器证明如下：

kanyikan

luyuanhong

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