多项和勾股数组通解公式

朱明君

设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，
则x^n十x^n十…十x^n=x^(n十1)    简化公式：x(x^n)=x(n十1)，

费尔马1

朱老师的方法固然好。以学生看来，这个公式与王守恩老师的方法相当。王老师的方法曾被学生命名为“满天星”多项和勾股数公式。
若a+b+…+k=m≥3的奇数，则，
a^2+b^2+…+k^2+[（a^2+b^2+…+k^2－1）/2]^2=[（a^2+b^2+…+k^2+1）/2]^2
这样的公式与朱老师的公式有同样的效果，但公式的结构较简单。

费尔马1

若a+b+…+k=m≥3的奇数，则，
a^n+b^n+…+k^n=[（a^n+b^n+…+k^n+1）/2]^2－[（a^n+b^n+…+k^n－1）/2]^2

费尔马1

朱明君 发表于 2022-2-14 09:45
费马1老师能不能我找出笫三个公式

学生不明白您的意思啊？找什么样的第三个公式？

费尔马1

朱明君 发表于 2022-2-16 10:39
设x n均为大于等于2的正整数，且x又为公式中前项的个数，则x^n十x^n十...十x^n=(x十1)^(n十1)

您的这个公式不对吧？

朱明君

设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，
则x^n十x^n十…十x^n=x^(n十1)           简化公式：x(x^n)=x^(n十1)
实例：x=2，2^n十2^n=2^(n十1)，
            x=3，3^n十3^n十3^n=3^(n十1)，
            x=4，4^n十4^n十4^n十4^n=4^(n十1)，
            x=5，5^n十5^n十5^n十5^n十5^n=5^(n十1)，
            ...…。

费尔马1

简化公式：x*x^n=x^(n十1)，

朱明君

朱明君

设2^n-1=x=y，2(2^n-1)=Z，其中xyzn均为正整数，
则x^n十y^(n十1)=z^n，
实例    n=1，2^1-1=1，  1^1十1^2=2^1，
            n=2，2^2-1=3，  3^2十3^3=6^2，
            n=3，2^3-1=7，  7^3十7^4=14^3，
            n=4，2^4-1=15，15^4十15^5=30^4，
            ......。

朱明君

x^2+y^3=z^4
令x=a^2x1,Z=aZ1
Y^3=z^4-x^2=a^4(z1^4-x1^2)
只要z1^4-x1^2=a^2成立，则原式有解
即x1^2+a^2=z1^4
当x1、a、z1两两互素时：x1=2mn，a=m^2-n^2，z1^2=m^2+n^2
或x1=m^2-n^2，a=2mn，z1^2=m^2+n^2
对于z1^2=m^2+n^2，z1=r^2+s^2，m=2rs，n=r^2-s^2
或z1=r^2+s^2，m=2rs，n=r^2-s^2
把z1，m，n回代即可得出

1、x=4a^2b^2（a^2-b^2）^2[4a^2b^2-（a^2-b^2）^2],
y=4a^2b^2（a^2-b^2）^2,z=2ab（a2^-b^2)（a^2+b^2）
2、x=4ab（a^2-b^2）[4a^2b^2-（a^2-b^2）^2]^2,y=[4a^2b^2-（a^2-b^2）^2]^2,
z=[（a^2-b^2)^2-4a^2b^2]（a^2+b^2）

第三类型解：x=[a^(4k)-1]^(6t+4)，y=[a^(4k)-1]^(4t+3），z=a^k[a^(4k)-1]^(3t+2)

1、如a=2，b=1，x=1008，y=144，z=60
2、如a=2，b=1，x=1176，y=49，z=-35
3、a=2，k=1，t=1，x=15^4，y=15^3，z=2x15^2

(1)x=28,y=8,z=6,          (2)x=1176.y=49,z=35,            （3）x=2824080,y=3362.z=1189