ΔABC 中，∠CAB=∠CBA=55°，D 在 AB 上，AD=2DB，E 在 BD 上，∠AED=70°，求 ∠DEB

ccmmjj

来源链接如下：去掉*号即可。
http*://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_52cbf6600102y705.html
从原文的叙述来看，作者（大概是一名理科学者）是觉得这道题是很有挑战性的，所以我转帖于此，网友们试试。

天山草

所求的这个角度是 35°

yeyucaiji

易得角ACB=70，设AB为x，用正弦（余弦都行）定理可得AC与BC,知道角CBA，BC,BD,可求CD，再正弦定理可得角DCB,即得到角ACD,即得到角CAE，已知角CAE,CEA,AC,可知CE,已知CE,CB,角ECB,就知EB，易得角CEB,则易得角DEB。就是难算

天山草

其实， 2# 楼那个结果还需要补充证明：

王守恩

天山草 发表于 2022-2-15 10:00
其实， 2# 楼那个结果还需要补充证明：

使用角分线定理，使用角分(不平均)线定理2次就可以。
\(1=\frac{\sin(∠DCB)*CB*DA}{\sin(∠DCA)*CA*DB}=\frac{\sin(55-a)*\sin(55)*2}{\sin(15+a)*\sin(55)*1}\implies
\frac{\sin(55-a)}{\sin(15+a)}=\frac{1}{2}\)
\(1=\frac{\sin(∠EBC)*BC*ED}{\sin(∠EBD)*BD*EC}=\frac{\sin(55-b)*\sin(55)*(2\sin(70)/3)\sin(a)/\sin(70)}{\sin(b)*\sin(70)/3*\sin(55)\sin(55-a)/\sin(70)}\implies
\frac{\sin(55-b)\sin(a)}{\sin(55-a)\sin(b)}=\frac{1}{2}\)
NSolve[{Sin[55°- a]/Sin[15 °+ a] == 1/2 ==Sin[55°- b]Sin[a]/(Sin[55°- a]Sin[ b]),
k == 110 - (a + b)*180/[Pi], \[Pi]/2 > a > 0, \[Pi]/2 > b > 0}, {a, b, k}]
{{a -> 0.578363, b -> 0.730634, k -> 35.}}

luyuanhong

天山草

上面陆教授的辅助线绝妙！ 陆教授的证明可简化一些如下：

kanyikan

本题的一般情况。

用陆教授方法轻松证明。

ccmmjj

谢谢陆老的漂亮证明；我提供一个证明与大家分享。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的解答很好！已收藏。