求在半径为 1 的球面上，随机两点之间空间直线距离的平均值

xfhaoym

这问题少见。

Nicolas2050

Solution
Answer: 4/3.
Let S be a spherical shell radius 1. S is the set of points (x, y, z) with x^2 + y^2 + z^2 = 1。
It is sufficient to fix one point and to find the average distance of the other points from it. Take the point as P and the centre as O. Now consider a general point Q on the surface. Let angle POQ = θ. The distance PQ is 2 sin θ/2 and this is the same for all points in a band angular width dθ at the angle θ. The band has radius sin θ. Hence the average distance is 1/4π ∫0π (2π sin θ) (2 sin θ/2) dθ = ∫ 4 sin2θ/2 d(sin θ/2) = 4/3.

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

lihp2020

我想到的是球的体积公式  ， 不知道对不
在 x^2+y^2 +z^2=1 的球中  任意两点 的直线段  都可以旋转求 成为 （x,y,z）和(x.y,-z)两个点 让这个直线段平行与Z轴  求这两点的平局距离  就是把这个球压缩成底面 是单位1的圆 圆柱体的高
球的面试公式 是4/3ΠR^3  圆柱的面积是  ΠR^2*H  所以h=4/3R
球的面试公式 是4/3ΠR^3 完全靠背诵的 但是 为啥来的 好像用了积分 但是 初中都能背诵

xfhaoym

谢谢LS的。陆教师税的期望值与这道具题说的直线平均距离是一回事吗？答案是4/3r.

luyuanhong

概率论中说的“期望值（数学期望）”，就是平均值的意思。

xfhaoym

知道了。