解鲁氏不定方程

费尔马1

解鲁氏不定方程（一）
A^(n+1)+B^n=C^n
A=m^（nk+1）
B=bm^[（n+1）k+1]
C=am^[（n+1）k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^n－b^n，且m>0

解鲁氏不定方程（二）
A^(n+1)－B^n=C^n
A=m^（nk+1）
B=bm^[（n+1）k+1]
C=am^[（n+1）k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^n+b^n，且m>0
解鲁氏不定方程（二）
A^(n+1)－B^n=C^n
A=2^（nk+1）
C=B=2^[（n+1）k+1]
其中，k为自然数，

费尔马1

在这里，鲁氏不定方程属于函数不定方程。有一定难度。

lusishun

应归纳为X*p+Y*q=Z*k，（pk，q）=1.类型的方程。

lusishun

lusishun 发表于 2022-3-1 21:33
应归纳为X*p+Y*q=Z*k，（pk，q）=1.类型的方程。

另一类型：X*p+Y*q=Z*k，（pq，k）=1.
都有解。

yangchuanju

解鲁氏不定方程
费尔马解鲁氏不定方程（一）
A^(n+1)+B^n=C^n
A=m^（nk+1）
B=bm^[（n+1）k+1]
C=am^[（n+1）k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^n－b^n，且m>0

检验：
A^(n+1)=[m^(nk+1)]^(n+1)=m^(n^2*k+n*k+n+1)
B^n=b^n*m^[(n+1)*k+1]^n=b^n*m^(n^2*k+n*k+n)
C^n=a^n*m^[(n+1)*k+1]^n=a^n*m^(n^2*k+n*k+n)

A^(n+1)+B^n=m^(n^2*k+n*k+n+1)+b^n*m^(n^2*k+n*k+n)=(m+b^n)*m^(n^2*k+n*k+n)
令A^(n+1)+B^n=C^n，则m+b^n=a^n，m=a^n-b^n。
故当a、b为正整数，k为自然数，m=a^n－b^n，且m>0时原方程成立；
随意给定一对正整数a和b，即得一个正整数m。


费尔马解鲁氏不定方程（二）
A^(n+1)－B^n=C^n
A=m^（nk+1）
B=bm^[（n+1）k+1]
C=am^[（n+1）k+1]
其中，a、b为正整数，k为自然数，
m=a^n+b^n，且m>0

检验：
A^(n+1)=[m^(nk+1)]^(n+1)=m^(n^2*k+n*k+n+1)
B^n=b^n*m^[(n+1)*k+1]^n=b^n*m^(n^2*k+n*k+n)
C^n=a^n*m^[(n+1)*k+1]^n=a^n*m^(n^2*k+n*k+n)

A^(n+1)-B^n=m^(n^2*k+n*k+n+1)-b^n*m^(n^2*k+n*k+n)=(m-b^n)*m^(n^2*k+n*k+n)
令A^(n+1)-B^n=C^n，则m-b^n=a^n，m=a^n+b^n。
故当a、b为正整数，k为自然数，m=a^n+b^n，且m>0时原方程成立；
随意给定一对正整数a和b，即得一个正整数m。

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-3-2 05:33
应归纳为X*p+Y*q=Z*k，（pk，q）=1.类型的方程。

解鲁氏不定方程（三）
X^p+Y^q=Z^k，（pk，q）=1.
例X^2+Y^3=Z^5
变形A^20+B^21=C^20
令A=B=a^20-1
则A^20+B^21=(a^20-1)^20+(a^20-1)^21=(a^20-1)^20*(1+a^20-1)=(a^20-1)^20*a^20=[(a^20-1)*a]^20=C^20
C=(a^20-1)*a

A^20=X^2, X=A^10=(a^20-1)^10;
B^21=Y^3, Y=B^7=(a^20-1)^7;
C^20=Z^5, Z=C^4=[(a^20-1)*a]^4

A、C的指数取p，k最小公倍数lcm(p,k)的某个倍数（例m倍——lcm(p,k)*m=p*m1=k*m2）；
再取C的指数比A、C的指数大1，且是q的某倍数n，qn=lcm(p,k)*m+1；
解出ABC的表达式：A=B=a^[lcm(p,k)*m]-1; C={a^[lcm(p,k)*m]-1}*a
再转换成XYZ的表达式 X=A^m1, Y=B^n, Z=C^m2。

yangchuanju

lusishun 发表于 2022-3-2 06:24
另一类型：X*p+Y*q=Z*k，（pq，k）=1.
都有解。

解鲁氏不定方程（四）
X^p+Y^q=Z^k，（pq，k）=1.
变形Z^k-X^p=Y^q
例Z^7-X^2=Y^5
再变形A^21-B^20=C^20
令A=B=a^20+1
则A^21-B^20=(a^20+1)^21-(a^20+1)^20=(a^20+1)^20*(a^20+1-1)=(a^20+1)^20*a^20=[(a^20+1)*a]^20=C^20
C=(a^20+1)*a

A^21=Z^7, Z=A^3=(a^20+1)^3;
B^20=X^2, X=B^10=(a^20+1)^10;
C^20=Y^5, Y=C^4=[(a^20+1)*a]^4

B、C的指数取p，q最小公倍数lcm(p,q)的某个倍数（例m倍——lcm(p,q)*m=p*m1=q*m2）；
再取A的指数比B、C的指数大1，且是k的某倍数n，kn=lcm(p,q)*m+1；
解出ABC的表达式：A=B=a^[lcm(p,k)*m]-1; C={a^[lcm(p,k)*m]-1}*a
再转换成XYZ的表达式 Z=A^n, X=B^m1, Y=C^m2。