也谈马克思的《数学手稿》和现行教科书的实数理论

春风晚霞

一、线段长度能测得准确值
1、数轴上的沙尔定理:
       定理:设数轴上A、B两点的坐标分别为\(x_1\)、\(x_2\)，则A、B两点间的距离(即线段AB的长度)为|\(x_2\)-\(x_1\)|。
2、线段AB的长度测得准性
       设A点的坐标为\(x_1\)，视觉误差为\(\alpha\)；B点的坐标为\(x_2\)，视觉误差也为\(\alpha\)，则线段AB的长度为| AB |=| (\(x_2\)+\(\alpha\))-(\(x_1\)+\(\alpha\)) |=| \(x_2\)-\(x_1\) |。
二、坐标平面上的两个作图题
1、平行线分线段成比例
       ①、过原点O在第一像限内任作射线OP，在OP上依次截取O\(A_1\)=\(A_1A_2\)=\(A_2A_3\)=…=\(A_7A_8\)=\(A_8A_9\)。
       ②、设B点的坐标为(1，0)，连结\(A_9\)B。
       ③、分别过\(A_1\)、\(A_2\)…\(A_7\)、\(A_8\)作\(A_9\)B的平行线，交x轴于\(B_1\)、\(B_2\)…\(B_7\)、\(B_8\)，则\(B_1\)、\(B_2\)…\(B_7\)、\(B_8\)的坐标分别为(\(1\over 9\)，0)、(\(2\over 9\)，0)、…、(\(7\over 9\)，0)、(\(8\over 9\)，0)。因为x轴上的点是用十进制的整数或小数表示的。\(x\over 9\)=0.\(\dot x\)  x\(\in\){1，2，3，4，5，6，7，8)。所以，无限循环小数0.\(\dot x\) 是定数且可化为分数\(x\over 9\)    x\(\in\){1，2，3，4，5，6，7，8)。
2、以\(\sqrt n\)为半径画弧与x轴相交
       (1)、以1为长度的线段直角三角形的两直角边，作直角三角形，得斜边长为\(\sqrt 2\)。
       (2)，以\(\sqrt 2\)和1为长度的线段为直角边作直角三角形，得其斜边长度为\(\sqrt 3\)。
………
       (n)、以\(\sqrt {n-1}\)和1为长度的线段为直角边作直角三角形，得其斜边长度为\(\sqrt n\)。
       (n+1)、以原点o为心，以长度为\(\sqrt n\)的线段为半径画弧，交x轴为B点，则B点的坐标为(\(\sqrt n\)，0)，由于数轴上的点的坐标均为整数或小数，所以当n为非完全平方数时无尽不循环小数\(\sqrt n\)客观存在并且取值唯一。
三、循环小数可化为分数
1、由马克思的级数等式证明循环小数可化为分数
       马克思在他的《数学手稿》第19页给岀了一个级数等式\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…①，把①式两端同乘以\(x\over 3\)，即得\(x\over 3\)\(\times\)\(1\over 3\)=\(x\over 3\)\(\times\)[\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…](殴几里得等量公理之等量的同倍量相等)。即得；
\(x\over 9\)=\(x\over 10\)+\(x\over 100\)+\(x\over 1000\)+\(x\over 10000\)+…亦即\(x\over 9\)=0.\(\dot x\)  x∈{1，2，3，…9}。
2、化0. \(\dot a_1\)\(a_2a_3\)…\(\dot a_k\)(k∈N且k为定数，i∈N，\(a_i\)∈{1，2，…9})为分数
       设λ=0. \(\dot a_1\)\(a_2a_3\)…\(\dot a_k\)  ①，在①式两端同乘以\(10^k\)，整理得(\(10^k\)-1)λ=\(a_1a_2\)…\(a_k\)，所以λ=\(a_1a_2…a_k\over 10^k-1\)。
如 无限循环小数0.6666…\(6\over 9\)；0.131313…=\(13\over 10^2-1\)=\(13\over 99\)；0.135713571357…=\(1357\over 10^4-1\)=\(1357\over 9999\)，…。
四、形如\(\sqrt n\)(n为非完全平方数)、sin\(\alpha\)、\(e^\sqrt 3\)。arccosa……之类的无理数可借助Taylor级数展开成十进制无限不循环小数。展开示例本贴从略。
        所以，现行教科书把无限小数分为无限不循环小数(无理数)，和无限循环小数(有理数)的分类是正确的，也是符合唯物辩证法的。由于整数(包括零)、有限小数均为有理数，所以\(\mathbf{有理数和无理数统称实数}\)这一定义也是正确的。

jzkyllcjl

马克思的说法与春风晚霞正教授的说法不同。春风晚霞使用断章取义的方法，歪曲了马克思的《数学手稿》。 事实上，马克思在《数学手稿》讨论导数极限方法的19页附带说明了无穷级数与无尽小数的关系。这个讨论首先指出1/3本身是它自己的极限，然后说了“假如我把它表成第一节（1-24页）使用了 “理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法”解决了第二次数学危机问题。具体讲来，在19页讲到：“（函数y=x^2 在x=a的导数）2a，是分式△y/△x =(y^2 -a^2)/(x-a_) 的约去非零公因子△x=x-a 之后，的比式 x+a,的实在值的意义上的x趋向于a 的趋向性极限值，即任何比数的实在值是比数的极限”自变数微分△x 既不是0，也不是《非标准分析》介绍的的非标准模型 中的无限小数。应当是可以忽略不计的非零足够小。导数计算是一种零与非零足够小相互依赖、相互斗争的对立统一法则下的 足够准近似计算，△x趋向于0，但又不能等于0.。
在这个19页，马克思附带谈了；极限意义下的无穷级数与无尽小数0.333……的问题，马克思说到“ 假如我把它表成级数，那末……”。在这一段叙述中马克思写了写了：从1被3 除法运算得到0.33的算式，然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实下，马克思在写了1/3=3/10+3/100+-- 的等式；在这个等式之后，马克思立即根据无穷次相加无法进行，无穷级数和是其前n项和的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性极限的定义，说道：1/3成为它的无穷级数的极限。这个论述说明：需要提出 lim n→∞0..33……3（n个3）=1/3 的等式、马克思的这段论述与这个等式与恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”是一致的。这说明：无尽小数0.333……与无穷级数的无穷都是恩格斯说的“无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的说法是正确的，也说明马克思的“极限值具有达不到的趋向性”说法是正确的。因此，应当提出：“无尽循环小数0.333……是理想实数1/3的针对误差界数列{1/10^n} 的全能不足近似值的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的简写”这个数列的趋向性极限才是1/3。但不幸的是：十九世纪七十年代之后的数学家^n不是这样（他们可能不知道马克思、恩格斯的论述），其中康托尔实数定义中说的是“无穷数列0.3,0.33,0.333,……是1/3的一个代表”；维尔△x斯特拉斯说的是“无尽小数等于实数，其中无尽小数0.333……等于1/3”。

ba571016

楼主证明1/3=0.3333……要以有限线段可分为“无限多”的“无穷小”线量作为前提。

而这里有个其一维空间中的“线段”不可能分割（划分）为“无限多”的无穷小“线量”(即无穷小一维空间)的证明：

如果“线段”能够分割（划分）为“无限多”的无穷小“线量”Δx，那么这无穷小“线量”Δx，彼此应该相等。如果不相等，则各“线量”有大小，故有些“线量”必然不是无穷小“线量”Δx，所以“线段”也决不可能是由“无限多”的无穷小“线量”Δx所组成。
      
     而数学几何“不可公度线段”的发现，则证明了“线段”是由无限多“彼此相等”的无穷小线量Δx所组成的非存在性！
而“无理数”也正是从数的“无限非循环”显示角度反映了线段存在有这样的不可公度性！

所以，“线段”(有限一维空间)不可能分割（划分）为“无限多”的无穷小“线量”(无穷小一维空间)！

现有数学教材：“线段存有无穷多的点”，由上面的证明可引伸知：这不尽正确的观点该在数学教材上得到修正！

康托尔学派所谓“无穷集”看似最牢靠的理据：有限封闭的线段含有无穷多的Δx及 “点”元素，其实并不牢固！

数学上有关微积分基础的逻辑问题，远未解决！


令人不解的是：康托尔学派的一家一言，在一些人眼里，却认为是数学界所一致共认的“真理”，成了不能撼动的金科玉律。
实际情况远非如此，他们对数学科学发展的全貌并非完全了解，更缺欠对多个“数学哲学”流派及主张的涉猎和思考之广阔视野。

elim

无穷小线与人面狮身兽一样，是有名无实的伪概念．ba571016 程度太低、徐你提个醒．

elim

无穷小线与人面狮身兽一样，是有名无实的伪概念．ba571016 程度太低、徐你提个醒．

jzkyllcjl

马克思的说法与春风晚霞正教授的说法不同。春风晚霞使用断章取义的方法，歪曲了马克思的《数学手稿》。 事实上，马克思在《数学手稿》讨论导数极限方法的19页附带说明了无穷级数与无尽小数的关系。这个讨论首先指出1/3本身是它自己的极限，然后说了“假如我把它表成第一节（1-24页）使用了 “理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法”解决了第二次数学危机问题。具体讲来，在19页讲到：“（函数y=x^2 在x=a的导数）2a，是分式△y/△x =(y^2 -a^2)/(x-a_) 的约去非零公因子△x=x-a 之后，的比式 x+a,的实在值的意义上的x趋向于a 的趋向性极限值，即任何比数的实在值是比数的极限”自变数微分△x 既不是0，也不是《非标准分析》介绍的的非标准模型 中的无限小数。应当是可以忽略不计的非零足够小。导数计算是一种零与非零足够小相互依赖、相互斗争的对立统一法则下的 足够准近似计算，△x趋向于0，但又不能等于0.。
在这个19页，马克思附带谈了；极限意义下的无穷级数与无尽小数0.333……的问题，马克思说到“ 假如我把它表成级数，那末……”。在这一段叙述中马克思写了写了：从1被3 除法运算得到0.33的算式，然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实下，马克思在写了1/3=3/10+3/100+-- 的等式；在这个等式之后，马克思立即根据无穷次相加无法进行，无穷级数和是其前n项和的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性极限的定义，说道：1/3成为它的无穷级数的极限。这个论述说明：需要提出 lim n→∞0..33……3（n个3）=1/3 的等式、马克思的这段论述与这个等式与恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”是一致的。这说明：无尽小数0.333……与无穷级数的无穷都是恩格斯说的“无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的说法是正确的，也说明马克思的“极限值具有达不到的趋向性”说法是正确的。因此，应当提出：“无尽循环小数0.333……是理想实数1/3的针对误差界数列{1/10^n} 的全能不足近似值的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的简写”这个数列的趋向性极限才是1/3。但不幸的是：十九世纪七十年代之后的数学家^n不是这样（他们可能不知道马克思、恩格斯的论述），其中康托尔实数定义中说的是“无穷数列0.3,0.33,0.333,……是1/3的一个代表”；维尔△x斯特拉斯说的是“无尽小数等于实数，其中无尽小数0.333……等于1/3”。

elim

马克思的微分理论是他那个时代的一个突破．现代数学杨弃了马克思迂迥而特殊的处理，把微分理论建筑在更一般，更明晰的标准分析基础上．这叫论论的螺璇式上升．吃狗屎的jzkyllcjl 根本不懂马克思以及人类数学的进步，只会吃狗屎并退化到畜生不如．
jzkyllcjl 反数学愚举必然泡汤，果然泡汤．

春风晚霞

ba571016 发表于 2022-3-6 14:29
楼主证明1/3=0.3333……要以有限线段可分为“无限多”的“无穷小”线量作为前提。

而这里有个其一维空间 ...

ba571016先生:
一、数学、哲学、数学哲学的念(以下概念摘自《辞海》)
1、数学：研究现实世界数量关系和空间形式的科学。基本特点是高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的适用性。
2、哲学：关于世界观的学说。人们对整个世界(自然界、社会和思维)的根本观点的体系。自然知识和社会知识的概括和总结。
3、数学哲学是指研究数学理论、概念及数学发展中哲学问题的学科，是对数学的哲学概括和总结。
二、数学与哲学的区别与联系
1.对于不了解哲学的人，往往神话哲学，说哲学是最高科学，是所有科学之上的科学；这是不客观和实际的；
2.对于痴迷数学的人，说数学是“上帝的语言（高斯）”，“要确立辩证的同时又是唯物主义的自然观，需要具备数学和自然科学的知识。”(恩格斯)；
3.数学和哲学都是人类发展当中认识自然，改造自然所形成的一种认识，这种认知只能发现不随人的改变而改变，也就是说，数学和哲学都是具有客观特性，不以人的意志为转移；
4.数学和哲学即存在联系又相互区别：因为他们都是对客观事物的反应，因此，数学和哲学都是对物质世界的一种发现，必然存在联系；而他们之间又有区别，因为客观事物在发展，客观事物的表象也不尽相同，因此反映到数学和哲学上，必然有所不同；
5.说数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，是不尽然的，数学中的有的研究方法也适用于哲学；同样的，哲学中的方法论也对研究数学又所启迪和帮助；因此，数学和哲学在某种程度上是可以互补和转化的，因为客观事物之间也是可以互补和转化的。
6.说哲学是存在学，是所有思维和方法的总结，也是不科学的；事物是不断发展的，研究事物的方法也需要不断发展，而专一研究事物的发展面就形成了单独的学科，就会有新的研究方法和思维总结，这不是哲学的范畴；因此，哲学和所有学科是平等的，不是对立的，也不是高于其他学科的；他们都是专注于各自领域的客观认知，都随着客观事物在不断发展的。
7.正确认清数学和哲学的关系就要反对说数学是工具是哲学的手段的提法，这抹杀了数学具有方法论的特点，虚拟了哲学的“最高科学论”，是不懂哲学的形而上学论，是对客观事物不同方面认知的挑战，也是对客观事物辩证统一特性的无知！
三、请先生赐教
1、请先生根据【有限线段可分为“无限多”的“无穷小”线量作为前提】具体说明\(1\over 3\)=0.3333…还是\(1\over 3\)≠0.3333…。
2、 请先生明示主贴三、循环小数可化为分数
1、由马克思的级数等式证明循环小数可化为分数
       马克思在他的《数学手稿》第19页给岀了一个级数等式\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…①，把①式两端同乘以\(x\over 3\)，即得\(x\over 3\)\(\times\)\(1\over 3\)=\(x\over 3\)\(\times\)[\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…](殴几里得等量公理之等量的同倍量相等)。即得；
\(x\over 9\)=\(x\over 10\)+\(x\over 100\)+\(x\over 1000\)+\(x\over 10000\)+…亦即\(x\over 9\)=0.\(\dot x\)  x∈{1，2，3，…9}。
2、化0. \(\dot a_1\)\(a_2a_3\)…\(\dot a_k\)(k∈N且k为定数，i∈N，\(a_i\)∈{1，2，…9})为分数
       设λ=0. \(\dot a_1\)\(a_2a_3\)…\(\dot a_k\)  ①，在①式两端同乘以\(10^k\)，整理得(\(10^k\)-1)λ=\(a_1a_2\)…\(a_k\)，所以λ=\(a_1a_2…a_k\over 10^k-1\)。
如 无限循环小数0.6666…\(6\over 9\)；0.131313…=\(13\over 10^2-1\)=\(13\over 99\)；0.135713571357…=\(1357\over 10^4-1\)=\(1357\over 9999\)，…的陈述或证明过程中，究竟哪步错了，为什么那步是错的？
3、请先生根据你对数学科学发展全貌的完全了解，替jzkyllcjl先生证明Cauchy收敛原理:数列｛\(x_n\)}有极限的充要条件是：\(\mathbf{对任意给定的ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，恒有|x_n-x_m|<ε成立 。}\)
Rt\(\triangle\)ABC

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-3-6 13:54
马克思的说法与春风晚霞正教授的说法不同。春风晚霞使用断章取义的方法，歪曲了马克思的《数学手稿》。 事 ...

jzkyllcjl先生，你的贴文仍然发过多次的宿贴，再次请你运用你的《全能近似分析》思想证明Cauchy收敛原理
定理:对于数列｛x_n}，若\(\mathbf{对任意给定的ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，恒有|x_n-x_m|<ε}\)成立，则数列{\(x_n\)}收敛。这个原理可不是Cantor提出来的，先生不会推辞吧？

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-3-6 13:54
马克思的说法与春风晚霞正教授的说法不同。春风晚霞使用断章取义的方法，歪曲了马克思的《数学手稿》。 事 ...

一、再次解读马克思级数等式
1、马克思级数等式原文
       马克思在《数学手稿》第19页倒数第3行写道:
       \(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{本身是它自己的极限.}\)假如我把它表成级数，那末(马克思在这里给出了表成级数的方法，长除法的图示)…所以\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…在这种情况下，\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{成为它无穷级数的极限.}\)
2、对马克恩级数等式的解读
①、由“\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{本身是它自己的极限}\)”知，马克思所说的极限并不具有“趋向但不等于”这个特性，否则必然导致\(\mathbf{1\over 3}\)≠\(\mathbf{1\over 3}\)悖论。也就是说“\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{本身是它自己的极限}\)”与现行教科书中所说“\(\mathbf{常数的极限就是自身}\)”是一致的。
②、由\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…，即:\(1\over 3\)=\(3\over 10\)(即0.3)+\(3\over 100\)(即0.03)+\(3\over 1000\)(即0.003)+\(3\over 10000\)(即0.0003)+…=0.3333…即\(1\over 3\)=0.3333…。也就是从\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…到\(1\over 3\)=0.3333…我们只用了殴几里得等量代换公理。如果不能根据形式逻辑演译否定马克思的级数等式，或不能根据形式逻辑演译否定殴几里得等量代换公理，那么我们就应当承认\(1\over 3\)=0.3333…这个等式。毕竟“初等数学，即常数数学，是在形式逻辑范围内运作的”[1]嘛！
③、马克思“\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{成为它无穷级数的极限}\)”一语中的“极限”也不能解读成“趋向但不等于”的意思，否则也将导致\(1\over 3\)≠\(1\over 3\)矛盾。
二、jzkyllcjl先生对马克思级数等式的错误解读
1、 jzkyllcjl先生认为【从1被3 除法运算得到0.33的算式，然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实下，马克思在\(\mathbf{写了1/3=3/10+3/100+…的等式}\)；在这个等式之后，马克思立即根据无穷次相加无法进行，无穷级数和是其前n项和的无穷数列0.3，0.33，0.333，…的趋向性极限的定义，说道：1/3成为它的无穷级数的极限。这个论述说明：需要提出 lim n→∞0..33……3（n个3）=1/3 的等式】
①、【从1被3 除法运算得到0.33的算式，然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实下，马克思在写了1/3=3/10+3/100+…的等式】；jzkyllcjl先生，你也认可[马克思在\(\mathbf{写了1/3=3/10+3/100+…的等式}\)]这就足够了。因为3/10+3/100+…=0.3333…，所以1/3=0.3333…(殴几里得之等量的传递性)。它与[然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实]又有什么关系？1/3=3/10+3/100+…的省略号中，包含了无穷多个比零大得多的数，为什么又不可包含那个以零为极限的余数余数呢？同时这个[1被3 除法运算得到0.33的算式，然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实]，也只是你的想像中的“事实”，芝诺不就是根据这个“事实”，得出“一个人永远走不出一间屋子”的悖论吗？
②、[马克思立即根据无穷次相加无法进行，无穷级数和是其前n项和的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性极限的定义，说道：1/3成为它的无穷级数的极限。]这个解读参杂你个人的东西太多。首先[无穷次相加无法进行，无穷级数和是其前n项和的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性极限的定义]这是你在二十世纪九年代，为拼凑你《全能近似分析数学理论基础及其应用》提出来的定义。且不说你的这个东西至今尚未得到数学界的认可，就是从时间顺序上，也不能用此解读马克思的这个极限等式。其次是[这个论述说明：需要提出lim n→∞0..33……3（n个3）=1/3 的等式],中的[lim n→∞0..33……3（n个3）]即是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\(\overbrace{0.3333…3}^{n个3}\)=\(\overbrace{0.3333…3}^{∞个3}\)=0.3333…。所以[lim n→∞0..33……3（n个3）=1/3 ]这个等式也就是0.3333……=1/3。这个结果我们可根据马克思的级数等式，和殴几里得等量公理直接得出，根本就不需要你“需要提出”嘛！
2、针对杜林“可以\(\mathbf{无矛盾地}\)加以思考的无限性的最明显的形式，是数在数列中的无限积累。”[2]恩格斯写下了“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样。物质世界的有限性所引起的矛盾，并不比它的无限性所引起的矛盾少，正像我们已经看到的，任何消除这些矛盾的尝试都会引起新的更糟糕的矛盾”[3]恩格斯这段话主要讲了两个方面:①对杜林“可以\(\mathbf{无矛盾地}\)加以思考的无限性的最明显的形式，是数在数列中的无限积累”作出了批判；②物质世界的有限性和物质世界的无限性都会引起矛盾(也就是矛盾的普遍性)。我们确实读不出这【也说明马克思的“极限值具有达不到的趋向性”说法是正确的】的意思。前面已经说了马克思所说极限值不“具有达不到的趋向性”，否则马克思的“\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{本身是它自己的极限}\)”岂不就是\(\mathbf{1\over 3}\)≠\(\mathbf{1\over 3}\)吗？
     
【参考文献】
[1]恩格斯《反杜林论》2018年2月版P143页。
[2]恩格斯《反杜林论》2018年2月版P48页。
[3]恩格斯《反杜林论》2018年2月版P53页)。