求定积分 ∫(0,π／2) 1／(1+√tanx)dx

three01240124

想請教此題積分
不知如何下手計算
再請大家幫忙
感謝各位

elim

\(\because\;\small\dfrac{1}{1+\sqrt{\tan(\frac{\pi}{2}-x})}=\dfrac{1}{1+\sqrt{\cot x}}=\dfrac{\sqrt{\tan x}}{1+\sqrt{\tan x}}=1-\dfrac{1}{1+\sqrt{\tan x}}\)
\(\therefore\;\small\displaystyle 2\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\sqrt{\tan x}}=\int_0^{\pi/2}\big(\frac{1}{1+\sqrt{\tan x}}+\frac{1}{1+\sqrt{\cot x}}\big)dx=\frac{\pi}{2}\)

所求定积分的值为\(\large\frac{\pi}{4}.\quad\small\square\)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。