求极限 lim(n→∞)(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)…(1-1/Pn)，其中 Pn 是第 n 个素数

彩色的豆高 · 发表于 2022-3-13 13:09

题1

跪求极限：lim（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）……（1-1/第n个素数）……的值

本人高中数学老师，用大学所学知识无法解出，烦请听过这个极限的各位前辈给讲讲，极限收敛，应有数值解

mathmatical · 发表于 2022-3-13 21:02

請問，兩個括號間，乘號？

cgl_74 · 发表于 2022-3-13 23:12

你好。这个题目我尝试了一下，也没做出来。但是我们可以探讨下解题思路和进展。
关键在于如何描述质数的分布，来准确的求出极限值。因为分布的差异和精确度会导致极限值不同。现在质数分布的性质还是比较粗略，我没找到求精确极限的条件。
我粗估了一下范围：

luyuanhong · 发表于 2022-3-14 08:35

cgl_74 · 发表于 2022-3-14 13:39

4楼陆老师的做法，是针对所有自然数的，不是针对质数的。质数的分布是个难题。

彩色的豆高 · 发表于 2022-3-16 18:15

十分感谢陆老师的指导，我问了好多同学才知道这个原来是欧拉函数，当x充分大时π（x）≈x/lnx

cgl_74 · 发表于 2022-3-16 20:40

彩色的豆高发表于 2022-3-16 18:15
十分感谢陆老师的指导，我问了好多同学才知道这个原来是欧拉函数，当x充分大时π（x）≈x/lnx

你知道解答了吗？不妨分享下，我也学习学习哈。

彩色的豆高 · 发表于 2022-3-16 22:44

cgl_74 发表于 2022-3-16 20:40
你知道解答了吗？不妨分享下，我也学习学习哈。

陆老师的解法是很好的，可以搜索欧拉函数相关知识

cgl_74 · 发表于 2022-3-20 16:33

实话说，我还真没看懂这解法。我不懂就问哈。
关键是其中一个步骤没有讲，这个步骤没有讲依据的定理是啥，展开的规律是啥。就像是说无需证明直接成立。如果不是陆老师的解答，我还认为是在开玩笑呢。

luyuanhong · 发表于 2022-3-20 22:33

cgl_74 发表于 2022-3-20 16:33
实话说，我还真没看懂这解法。我不懂就问哈。
关键是其中一个步骤没有讲，这个步骤没有讲依据的定理是啥， ...

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