完美立方体问题

yangchuanju

【转载】完美立方体问题

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还记得勾股定理，A^2+B^2=C^2 吗？A,B,C三个字母表示直角三角形的三边长。毕达哥拉斯三角形指的是三边长都是整数的直角三角形，即满足 A^2+B^2=C^2,且 A,B,C 都是整数。现在我们将这个概念扩展到三维，在三维空间，我们需要四个数A, B, C 和 G。前三个数是立方体的三维边长，G是立方体的空间对角线长度。
正如有些三角形的三边都是整数一样，存在一些立方体的三边和体对角线（A,B,C和G）都是整数，但对于立方体来说还有三个面对角线（D,E和F），这就带来一个有趣的问题：有没有立方体满足这个7个边长都是整数的条件呢？
问题的目标在于找到一个立方体满足 A^2+B^2+C^2=G^2，且全部的边和对角线长度都是整数，这种立方体被称为完美立方体（perfect cuboid）。数学家们测试了各种不同的可能构型，还没找到任何一个满足条件的情况。但他们也不能证明这样的立方体不存在，因此搜寻完美立方体的工作还在继续。

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【部分转载】幂尾数周期律可解决“完美立方体问题”
https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_7833486
深圳市数学科普学会

这是一道 300 年来未解决的难题，即勾股数方程 a2+b2+c2= g2 是否有整数解的问题，1719 年由一名叫 Paul  Halcke 的专为天文学家进行数据计算的工程师提出。三根棱长和三个面上的对角线都是整数的立方体叫欧拉砖，在欧拉砖（如，三边为 44，117， 240）的基础上继续添加条件“体对角线是整数”的叫完美立方体（perfect cuboid），它要求全部的边和对角线长都是整数。本原解欧拉砖要求体对角线必须同其他6边都分别互素，那这样的完美立方体是否存在呢？本文作者用洛书定理判定它不存在，并给出证明。

欧拉砖有一个重要性质，就是立方体本原解必须有一边被 5 整除，被 3 整除，被 7整除，被 9整除，被 11 整除，有两边被 4 整除。关于勾股数必有一边含 5 因子的这一性质也被洛书定理所证明，在三元方程中，整数2次方的幂，其个位数经穷尽排列组合，要匹配相等时必有个位数或0或5，故每组三元勾股数中必有一元含5因子数，这个发现和证明都是首次公布，是非常非常重要的数学贡献。所以这个性质在欧拉砖中也就必然存在，基于这一性质可解决完美立方体问题。
现证明如下，令 gcd（a，b，c）=1，即三元组无公因数，则 g 必与 a、b、c 皆互素， 若非互素，必会导致方程两边整数等于分数，故可反证出 g 必与 a、 b、c 三元分别互素， 此时四元组为本原解方程。于是可知四元组 a、b、c、-g 是线性无关组，假如有另四元组a、b、c、g 与其构成的线性组合是线性相关的，即 a2+b2+c2= g2，则 g2 必与 a、b、c 分别互素。假如 g2 有整数解，根据毕达哥拉斯三元组方程性质，那么在四元组中必有一项含 5 因子数，前文用洛书定理已完成证明了该性质，欧拉砖的定义性质也证明了这一点。欧拉砖三边必有一边含 5 因子的这一性质，已有数学家完成证明，其他情形都不是欧拉砖，但也可用洛书定理幂尾数周期律证明。
假如欧拉砖三面的对角线都含 5 因子，即三边都不含 5 因子，我们来考察方程的性质。先用方程两边乘以 2 可得到，2a2+2b2+2c2=2g2，左边将得到三组含 5 因子的数，这与右边跟它互素不含 5 因子的条件相矛盾，故该类立方体不是欧拉砖，三边都不含 5 因子将不构成欧拉砖。因为三面对角线皆含 5 因子，若 2g2 不含 5 因子，必矛盾；若 g2 含 5 因子，g2- a2 必不含 5 因子，而 b2+c2 必含 5 因子，于是也矛盾。这就反证了三面对角线都含 5 因子数的欧拉砖不存在，即三边都不含 5 因子的非欧拉砖四元组方程可排除。
三边都含 5 因子数的方程亦可排除，因为不是本原解方程。
若 a2 含 5 因子数，g2 不含 5 因子，-（b2+c2）中必有一项含 5 因子数，否则两项相加再两项相减就产生不了 5 因子数，同样由洛书定理幂尾数周期律以及互异互素运算决定，如此 a、 b、 c 中，就有两项含 5 因子数， a2、 c2 含 5 因子时， a、c 所关联的对角线就无法有整数解。此情形不能满足欧拉砖的条件，因本原解勾股数不存在皆含 5 因子， 也不存在两个含 5 因子的数，这一点洛书定理已证明，本原解方程也不许有共因子 5，如此就与完美立方体是欧拉砖的要求矛盾了，因此两边含 5 因子数的立方体必不是欧拉砖，不可列入完美立方体问题。若 g2 含 5  因子，那此情形的完美立方体方程就不是本原解方程， 与 a、b、c 三边不能互素，可排除。b2、 c2 的情形亦同，皆可得到在 a、b、c 中会有两项含 5 因子数，这样就会与完美立方体至少要求是欧拉砖相矛盾。可见要么因本原解两边长都含 5 因子的数，导致无法产生整数的对角线，故不是欧拉砖方程；要么因  g2 含 5 因子，不是本原解方程，可排除。
立方体三边可穷分类为，三边不含 5 因子、三边含 5 因子、两边含 5 因子、 一边含 5 因子等四种情形。经推导，在必有欧拉砖的前提下，4 种情形已排除 3 种， 那么三边中仅有一边含 5 因子时就是欧拉砖。于是可证欧拉砖的必要条件只能是三边必有一边含 5因子数。现证明欧拉砖不存在有完美立方体。
若 g2 含 5 因子，a、b、c 三边必有一边含 5 因子数，否则三项相加产生不了 5 因子数(  欧拉砖性质)，可由洛书定理幂尾数周期律加上互异互素运算来判定，如此  g2   含  5  因子时就与 a、b、c 分别互素的本原解要求矛盾了，若两元互素则两两互素的三元互素方程性质也决定了这一点，g与三边中的一项互素，必与其他两项之和互素，否则就不是本原解欧拉砖，故此时 g2可不必判定它是否有整数解。若 g2 不含 5 因子，根据洛书定理，两个不含 5 因子的互异勾股数，其平方数相加，必产生 5 尾数或 0 尾数，否则就不是欧拉砖，其他尾数不在平方数中（仅含 4、6、0、9、1、5），三边平方和含 5 因子已不可避免，而本原解方程要求 g 与三边互素，不含 5 因子，如此方程就变成了不等式，完美立方体方程必无整数解获证。
通俗地说，此问题是通过等式尾数无法对齐解决的，即方程两边最后计算出的数值个位数无法匹配成相同数，这一点被洛书定理的幂尾数周期律所确定，它要么两边互素是不等式，本原解无解，要么是两边合成三元方程时每项有公因子5，属于非本原解方程，本原解无解，通解就无解。这是一道无须数学大咖就能验证解法是否正确的数学难题，尽管全世界数学家苦苦思考了它 300多 年。
这样欧拉砖的体对角线，经洛书定理和互素性质证明，g 必无整数解，其他情形，要么就不是欧拉砖方程，要么就不是本原解方程。综合以上所有可能发生的情形，可推理出完美立方体本原解方程必无整数解，当然也就无整数通解，无本原解必无通解。也就是说完美立方体并不存在。

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A340178  Euler brick triples, side dimensions (a,b,c) in increasing order for a.
给出17组欧拉砖的正整数数字：
44, 117, 240,
85, 132, 720,
88, 234, 480,
132, 351, 720,
140, 480, 693,
160, 231, 792,
170, 264, 1440,
176, 468, 960,
187, 1020, 1584,
195, 748, 6336,
220, 585, 1200,
240, 252, 275,
255, 396, 2160,
264, 702, 1440,
280, 960, 1386,
308, 819, 1680,
320, 462, 1584

yangchuanju

A031173、A031174、A031175分别给出3556个欧拉砖的长宽高整数值a,b,c；
A141029给出前37种欧拉砖体对角线最接近的整数值。
序号        A031173        A031174        A031175        d        e        f        A141029
1        240        117        44        267        244        125        271
2        275        252        240        373        365        348        444
3        693        480        140        843        707        500        855
4        720        132        85        732        725        157        737
5        792        231        160        825        808        281        840
6        1155        1100        1008        1595        1533        1492        1887
7        1584        1020        187        1884        1595        1037        1893
8        2340        880        429        2500        2379        979        2537
9        2640        855        832        2775        2768        1193        2897
10        2992        2475        780        3883        3092        2595        3961
11        3120        2035        828        3725        3228        2197        3816
12        5984        2295        1560        6409        6184        2775        6596
13        6325        5796        528        8579        6347        5820        8595
14        6336        748        195        6380        6339        773        6383
15        6688        6300        1155        9188        6787        6405        9260
16        6732        4576        1755        8140        6957        4901        8327
17        8160        4888        495        9512        8175        4913        9525
18        9120        1672        1575        9272        9255        2297        9405
19        9405        9152        2964        13123        9861        9620        13454
20        10725        9828        7840        14547        13285        12572        16525
21        11220        3536        2925        11764        11595        4589        12122
22        12075        1100        1008        12125        12117        1492        12167
23        13860        4901        4368        14701        14532        6565        15336
24        14560        1881        1080        14681        14600        2169        14721
25        16800        11753        10296        20503        19704        15625        22943
26        17472        8820        7579        19572        19045        11629        20988
27        17748        10560        8789        20652        19805        13739        22444
28        18560        16929        6072        25121        19528        17985        25844
29        19305        15400        14112        24695        23913        20888        28443
30        21476        14160        5643        25724        22205        15243        26336
31        23760        18368        4599        30032        24201        18935        30382
32        23760        17157        4900        29307        24260        17843        29714
33        24684        24080        6435        34484        25509        24925        35079
34        25704        17472        935        31080        25721        17497        31094
35        26649        15232        7920        30695        27801        17168        31700
36        29920        23751        7800        38201        30920        24999        38989
37        30780        10725        4928        32595        31172        11803        32965

yangchuanju

A096907-A096710分别给出10000个
Primitive Pythagorean Quadruples（毕达哥拉斯四元组）a^2+b^2+c^2=d^2, 0<a<=b<=c<=d, gcd(a,b,c,d)=1
之a,b,c,d值。

yangchuanju

A046086、A046087、A020882分别给出10000个
Primitive Pythagorean triangles（毕达哥拉斯三元组，勾股弦数）a^2+b^2=c^2, gcd(a,b,c)=1
按c、b排序的a、b、c值。
A020884、A020883分别给出A046086、A046087所给勾股数重排序的a、b值。

A103606给出3975/3=1325组勾股弦整数值。

yangchuanju

Euler bricks（欧拉砖）数满足立方体面对角线D,E,F都是整数，但不满足体对角线G也是整数；
Primitive Pythagorean Quadruples（毕达哥拉斯四元组）满足体对角线G是整数，但不满足面对角线D,E,F也同时是整数。
完美立方体是不存在的！！！！！！！！！！！！

费尔马1

学生我也认为完美立方体是不存在的。
证明:设长方体的底面是a、b，高为h
再设a、b、c满足勾股数，其中a为偶数，b为奇数，当然c是奇数；
h、c，g满足勾股数，其中h为偶数，c为奇数，当然g是奇数；
h、b、m满足勾股数，其中h为偶数，b为奇数，当然m是奇数；
h、a、y满足勾股数，其中h为偶数，a为偶数，当然y是偶数，
因为h、a在前面几个勾股数组里，都是本原的，在最后的勾股数组里就是非本原的，出现矛盾，故，所有勾股数组都是本原的是不存在的，既然本原的不存在，那么，含倍数的也就不存在了。

yangchuanju

程老师还解一解被遗弃的草根（张天树）先生的第一个赛跑题吗？
（1）一个忧伤的故事
有n个人(n>1)在半径为1千米的圆形跑道上匀速的跑圈，没有人静止不动（即速度大于0）。他们出发点相同，行走的方向相同，但没有任何两个人速度是相同的（就是说，n个人的速度两两不同）。跑道上的人感情很脆弱，当一个人和其他每个人的距离都大于等于1/n千米的时候，这个人会觉得自己很孤独。
问题：请证明对任意n，跑道上的人每一个人，都有孤独的时候！

yangchuanju

类似问题一个
太阳系有8大行星，它们都大致在同一个平面上的半径互不相同的椭圆轨道上绕太阳做公转运行，太阳位于各椭圆平面的共同焦点处；公转速度各不相同，但对于某个行星来说在近日点线速度和角速度都大一点，在远日点线速度和角速度都要慢一点。

假定8大行星严格的位于同一平面的8个圆形轨道上做匀角速公转运行（角速度各不相同但恒定不变），太阳位于各个圆形轨道的圆心点，轨道半径也都恒定不变。

问：在历史的长河中会不会出现过8行星共处同一半径上？
会不会出现8行星彼此相距45°？
会不会出现某一行星都远离其它行星45°？