奇葩的拼接平方数

yangchuanju · 发表于 2022-3-20 06:34

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-21 15:47 编辑

拼接平方数
用相邻的两个正整数n,n-1或n,n+1拼接在一起构成一个大的平方数，你会吗？能找到多少这样的正整数？

yangchuanju · 发表于 2022-3-20 06:40

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-20 06:43 编辑

A054214给出4751个n&(n-1)型平方数值n值：
82, 8242, 9802, 538277, 998002, 77837026, 99980002, 7922547265, 8643251345, 9223797610, 9999800002, 106710893290, 453378226757, 491023832065, 945958034530, 999998000002, 11916002265170, 15790977390245, 24917378001937, 25082758752026, 36315251812570，……

例82&81=8281=91^2；8242&8241=82428241=9079^2；……

yangchuanju · 发表于 2022-3-20 06:54

A030465给出198个k&(k+1)型平方数k值：
183, 328, 528, 715, 6099, 13224, 40495, 106755, 453288, 2066115, 2975208, 22145328, 28027683, 110213248, 110667555, 147928995, 178838403, 226123528, 275074575, 333052608, 378698224, 445332888, 446245635，……
例183&184=183184=428^2；……

拆分A030466中的10471个k&(k+1)型平方数可得到10471个k。

yangchuanju · 发表于 2022-3-20 11:43

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-20 22:32 编辑

奇葩的平方数1
A343536给出116个平方根数，这些平方根的平方数均位于2-3个连续数之中，请欣赏：
A343536-116 平方数 2-3连续数组合数
1 1 1 1
2 428 183184 183.184
3 573 328329 328.329
4 725 525625 25 5.256.25 7
5 727 528529 528.529
6 738 544644 44 5.446.44 7
7 846 715716 715.716
8 7810 60996100 6099.6100
9 8093 65496649 49 65.4966.49 67
10 28023 785288529 852 7.8528.8529
11 36354 1321613316 16 132.16133.16 134
12 36365 1322413225 13224.13225
13 36464 1329623296 3296 1.32962.3296 3
14 63636 4049540496 40495.40496
15 254544 64792647936 64792.64793.6 4794
16 277851 77201178201 2011 77.201178.201 179
17 297422 88459846084 845 8.8459.8460.84 61
18 326734 106755106756 106755.106756
19 673267 453288453289 453288.453289
20 673368 453424463424 342 45.342446.3424 47
【以上19行末列组合数中的“.”不是小数点，在这里仅当分隔符用；不是平方数的部分用空号分割】
21 2889810 8.351E+12 8351001836100
22 4545454 2.06612E+13 20661152066116
23 4545465 2.06613E+13 20661252066225
24 5454547 2.97521E+13 29752082975209
25 5454646 2.97532E+13 29753162985316
26 24275425 5.89296E+14 589296258930625
27 29411775 8.65053E+14 865052508650625
28 47058823 2.21453E+15 2214532822145329
29 52941178 2.80277E+15 2802768328027684
30 94117748 8.85815E+15 8858150488591504
31 146407310 2.14351E+16 21435100421436100
32 263157795 6.9252E+16 69252025069262025
33 267735365 7.16822E+16 71682225671683225
34 285714186 8.16326E+16 81632596081642596
35 331983807 1.10213E+17 110213248110213249
36 332667334 1.10668E+17 110667555110667556
37 357547200 1.2784E+17 127840000227840000
38 384615386 1.47929E+17 147928995147928996
39 422892898 1.78838E+17 178838403178838404
40 447552348 2.00303E+17 200303104200313104
41 473684221 2.24377E+17 224376741224376841
42 475523476 2.26123E+17 226122576227122576
43 475524477 2.26124E+17 226123528226123529
44 480509481 2.30889E+17 230889361330889361
45 511279196 2.61406E+17 261406416262406416
46 524475524 2.75075E+17 275074575275074576
47 542037011 2.93804E+17 293804121293814121
48 571418572 3.26519E+17 326519184426519184
49 571428582 3.26531E+17 326530624326530724
50 577107103 3.33053E+17 333052608333052609
51 582417573 3.3921E+17 339210229339210329
52 582427583 3.39222E+17 339221889439221889
53 615384615 3.78698E+17 378698224378698225
54 617224871 3.80967E+17 380966541380966641
55 642452801 4.12746E+17 412745601512745601
56 667332667 4.45333E+17 445332888445332889
57 667333668 4.45334E+17 445334224446334224
58 668016194 4.46246E+17 446245635446245636
59 673336674 4.53382E+17 453382276553382276
60 680161934 4.6262E+17 462620256462620356
61 684220527 4.68158E+17 468157729568157729
62 714285815 5.10204E+17 510204225510214225
63 719964246 5.18349E+17 518348515518348516
64 733361892 5.3782E+17 537819664637819664
65 736842206 5.42936E+17 542936436542946436
66 755234756 5.7038E+17 570379536670379536
67 755244766 5.70395E+17 570394656570394756
68 758241758 5.74931E+17 574930563574930564
69 771071025 5.94551E+17 594550525594550625
70 796298955 6.34092E+17 634092025734092025
71 801619334 6.42594E+17 642593556642603556
72 804511280 6.47238E+17 647238399647238400
73 810873337 6.57516E+17 657515568657515569
74 819291387 6.71238E+17 671238376812383769
75 824175725 6.79266E+17 679265625679275625
76 827751297 6.85172E+17 685172209685182209
77 846143847 7.15959E+17 715959409815959409
78 846153857 7.15976E+17 715976349715976449
79 857141858 7.34692E+17 734692164735692164
80 857142859 7.34694E+17 734693880734693881
81 873336190 7.62716E+17 762716100763716100
82 887208046 7.87138E+17 787138116887138116
83 891266639 7.94356E+17 794356221794356321
84 892897578 7.97266E+17 797266084798266084
85 895420371 8.01778E+17 801777640801777641
86 909090810 8.26446E+17 826446100826456100
87 909090909 8.26446E+17 826446280826446281
88 909091910 8.26448E+17 826448100827448100
89 947368423 8.97507E+17 897506928897506929
90 948050949 8.98801E+17 898800601899800601
91 948051950 8.98802E+17 898802499898802500
92 954887209 9.1181E+17 911809581911809681
93 961722488 9.2491E+17 924910143924910144
94 964245281 9.29769E+17 929768961930768961
95 983806669 9.67876E+17 967875561968875561
96 996424529 9.92862E+17 992861841992871841
97 1951048955 3.80659E+18 3806592024806592025
98 2464742716 6.07496E+18 6074956656075056656
99 2492300246 6.21156E+18 6211560516211660516
100 3960395940 1.56847E+19 15684736001568483600
101 3960396041 1.56847E+19 15684736801568473681
102 4976558482 2.47661E+19 24766134324766144324
103 6039593961 3.64767E+19 36476695213747669521
104 6039603960 3.64768E+19 36476815993647681600
105 6039604061 3.64768E+19 36476817213647691721
106 6920710992 4.78962E+19 47896240634789624064
107 7109913080 5.05509E+19 50550864005155086400
108 7928900870 6.28675E+19 62867469006286756900
109 8892969089 7.90849E+19 79084899217909489921
110 8929690882 7.97394E+19 79739379248073937924
111 9118892970 8.31542E+19 83154208998315420900
112 9289008693 8.62857E+19 86285682498629568249
113 9603959397 9.2236E+19 92236036099224603609
114 9603960407 9.22361E+19 92236055499223605649
115 18910739552 3.57616E+20 357616070403577160704
116 19230769287 3.69822E+20 369822487369822488369

yangchuanju · 发表于 2022-3-20 11:44

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-26 04:33 编辑

奇葩的平方数2
A236338给出245个平方根，这些平方根的平方数分成左右两位数相等的两部分，
右半部分数字减去左半部分数字差的平方根是正整数1,2,3，……245，请欣赏：
A236338-245 平方数左半右半右半-左半差平方根
1 428 183184 183 184 1 1
2 453 205209 205 209 4 2
3 465 216225 216 225 9 3
4 381 145161 145 161 16 4
5 369 136161 136 161 25 5
6 358 128164 128 164 36 6
7 917 840889 840 889 49 7
8 421 177241 177 241 64 8
9 394 155236 155 236 81 9
10 452 204304 204 304 100 10
11 704 495616 495 616 121 11
12 716 512656 512 656 144 12
13 442 195364 195 364 169 13
14 833 693889 693 889 196 14
15 323 104329 104 329 225 15
16 380 144400 144 400 256 16
17 347 120409 120 409 289 17
18 697 485809 485 809 324 18
19 8376 70157376 7015 7376 361 19
20 449 201601 201 601 400 20
21 3994 15952036 1595 2036 441 21
22 407 165649 165 649 484 22
23 439 192721 192 721 529 23
24 431 185761 185 761 576 24
25 4770 22752900 2275 2900 625 25
26 6961 48455521 4845 5521 676 26
27 391 152881 152 881 729 27
28 336 112896 112 896 784 28
29 3533 12482089 1248 2089 841 29
30 4277 18292729 1829 2729 900 30
31 7915 62647225 6264 7225 961 31
32 36332 1320014224 13200 14224 1024 32
33 7705 59367025 5936 7025 1089 33
34 4487 20133169 2013 3169 1156 34
35 3323 11042329 1104 2329 1225 35
36 8869 78659161 7865 9161 1296 36
37 8942 79959364 7995 9364 1369 37
38 3250 10562500 1056 2500 1444 38
39 4560 20793600 2079 3600 1521 39
40 7632 58247424 5824 7424 1600 40
41 90951 8272084401 82720 84401 1681 41
42 7988 63808144 6380 8144 1764 42
43 4204 17673616 1767 3616 1849 43
44 3606 13003236 1300 3236 1936 44
45 8586 73719396 7371 9396 2025 45
46 72774 5296055076 52960 55076 2116 46
47 7034 49477156 4947 7156 2209 47
48 4843 23454649 2345 4649 2304 48
49 7349 54007801 5400 7801 2401 49
50 81769 6686169361 66861 69361 2500 50
51 8271 68409441 6840 9441 2601 51
52 3921 15374241 1537 4241 2704 52
53 3889 15124321 1512 4321 2809 53
54 8303 68939809 6893 9809 2916 54
55 970353 941584944609 941584 944609 3025 55
56 7317 53538489 5353 8489 3136 56
57 4875 23765625 2376 5625 3249 57
58 7066 49928356 4992 8356 3364 58
59 45514 2071524196 20715 24196 3481 59
60 81879 6704170641 67041 70641 3600 60
61 3638 13235044 1323 5044 3721 61
62 4172 17405584 1740 5584 3844 62
63 90973 8276086729 82760 86729 3969 63
64 72664 5280056896 52800 56896 4096 64
65 36299 1317617401 13176 17401 4225 65
66 4592 21086464 2108 6464 4356 66
67 3218 10355524 1035 5524 4489 67
68 72796 5299257616 52992 57616 4624 68
69 90841 8252087281 82520 87281 4761 69
70 3355 11256025 1125 6025 4900 70
71 4455 19847025 1984 7025 5041 71
72 81747 6682572009 66825 72009 5184 72
73 45382 2059525924 20595 25924 5329 73
74 90984 8278088256 82780 88256 5476 74
75 4309 18567481 1856 7481 5625 75
76 3501 12257001 1225 7001 5776 76
77 841508 708135714064 708135 714064 5929 77
78 36442 1328019364 13280 19364 6084 78
79 72807 5300859249 53008 59249 6241 79
80 4738 22448644 2244 8644 6400 80
81 45536 2073527296 20735 27296 6561 81
82 81901 6707773801 67077 73801 6724 82
83 81736 6680773696 66807 73696 6889 83
84 4026 16208676 1620 8676 7056 84
85 3784 14318656 1431 8656 7225 85
86 72642 5276860164 52768 60164 7396 86
87 36277 1316020729 13160 20729 7569 87
88 752564 566352574096 566352 574096 7744 88
89 36453 1328821209 13288 21209 7921 89
90 72818 5302461124 53024 61124 8100 90
91 90819 8248090761 82480 90761 8281 91
92 45547 2074529209 20745 29209 8464 92
93 81912 6709575744 67095 75744 8649 93
94 81725 6678975625 66789 75625 8836 94
95 45360 2057529600 20575 29600 9025 95
96 91006 8282092036 82820 92036 9216 96
97 72631 5275262161 52752 62161 9409 97
98 36266 1315222756 13152 22756 9604 98
99 346634 120155129956 120155 129956 9801 99
100 36464 1329623296 13296 23296 10000 100
101 72829 5304063241 53040 63241 10201 101
102 90808 8246092864 82460 92864 10404 102
103 45558 2075531364 20755 31364 10609 103
104 81923 6711377929 67113 77929 10816 104
105 81714 6677177796 66771 77796 11025 105
106 45349 2056531801 20565 31801 11236 106
107 91017 8284094289 82840 94289 11449 107
108 72620 5273664400 52736 64400 11664 108
109 36255 1314425025 13144 25025 11881 109
110 940705 884925897025 884925 897025 12100 110
111 36475 1330425625 13304 25625 12321 111
112 72840 5305665600 53056 65600 12544 112
113 90797 8244095209 82440 95209 12769 113
114 45569 2076533761 20765 33761 12996 114
115 81934 6713180356 67131 80356 13225 115
116 81703 6675380209 66753 80209 13456 116
117 45338 2055534244 20555 34244 13689 117
118 91028 8286096784 82860 96784 13924 118
119 72609 5272066881 52720 66881 14161 119
120 36244 1313627536 13136 27536 14400 120
121 465226 216435231076 216435 231076 14641 121
122 36486 1331228196 13312 28196 14884 122
123 72851 5307268201 53072 68201 15129 123
124 90786 8242097796 82420 97796 15376 124
125 45580 2077536400 20775 36400 15625 125
126 81945 6714983025 67149 83025 15876 126
127 81692 6673582864 66735 82864 16129 127
128 45327 2054536929 20545 36929 16384 128
129 91039 8288099521 82880 99521 16641 129
130 72598 5270469604 52704 69604 16900 130
131 36233 1312830289 13128 30289 17161 131
132 871156 758912776336 758912 776336 17424 132
133 36497 1332031009 13320 31009 17689 133
134 72862 5308871044 53088 71044 17956 134
135 890955 793800812025 793800 812025 18225 135
136 45591 2078539281 20785 39281 18496 136
137 81956 6716785936 67167 85936 18769 137
138 81681 6671785761 66717 85761 19044 138
139 45316 2053539856 20535 39856 19321 139
140 742715 551625571225 551625 571225 19600 140
141 72587 5268872569 52688 72569 19881 141
142 36222 1312033284 13120 33284 20164 142
143 722916 522607543056 522607 543056 20449 143
144 36508 1332834064 13328 34064 20736 144
145 72873 5310474129 53104 74129 21025 145
146 703117 494373515689 494373 515689 21316 146
147 45602 2079542404 20795 42404 21609 147
148 81967 6718589089 67185 89089 21904 148
149 81670 6669988900 66699 88900 22201 149
150 45305 2052543025 20525 43025 22500 150
151 336785 113424136225 113424 136225 22801 151
152 72576 5267275776 52672 75776 23104 152
153 36211 1311236521 13112 36521 23409 153
154 316986 100480124196 100480 124196 23716 154
155 36519 1333637361 13336 37361 24025 155
156 72884 5312077456 53120 77456 24336 156
157 702814 493947518596 493947 518596 24649 157
158 45613 2080545769 20805 45769 24964 158
159 81978 6720392484 67203 92484 25281 159
160 81659 6668192281 66681 92281 25600 160
161 45294 2051546436 20515 46436 25921 161
162 930856 866492892736 866492 892736 26244 162
163 72565 5265679225 52656 79225 26569 163
164 36200 1310440000 13104 40000 26896 164
165 911057 830024857249 830024 857249 27225 165
166 36530 1334440900 13344 40900 27556 166
167 72895 5313681025 53136 81025 27889 167
168 891258 794340822564 794340 822564 28224 168
169 45624 2081549376 20815 49376 28561 169
170 81989 6722196121 67221 96121 28900 170
171 81648 6666395904 66663 95904 29241 171
172 45283 2050550089 20505 50089 29584 172
173 475075 225696255625 225696 255625 29929 173
174 72554 5264082916 52640 82916 30276 174
175 36189 1309643721 13096 43721 30625 175
176 494874 244900275876 244900 275876 30976 176
177 36541 1335244681 13352 44681 31329 177
178 72906 5315284836 53152 84836 31684 178
179 485328 235543267584 235543 267584 32041 179
180 45635 2082553225 20825 53225 32400 180
181 861206 741675774436 741675 774436 32761 181
182 81637 6664599769 66645 99769 33124 182
183 45272 2049553984 20495 53984 33489 183
184 881005 776169810025 776169 810025 33856 184
185 72543 5262486849 52624 86849 34225 185
186 36178 1308847684 13088 47684 34596 186
187 900804 811447846416 811447 846416 34969 187
188 36552 1336048704 13360 48704 35344 188
189 72917 5316888889 53168 88889 35721 189
190 920603 847509883609 847509 883609 36100 190
191 45646 2083557316 20835 57316 36481 191
192 732866 537092573956 537092 573956 36864 192
193 940402 884355921604 884355 921604 37249 193
194 45261 2048558121 20485 58121 37636 194
195 713067 508464546489 508464 546489 38025 195
196 72532 5260891024 52608 91024 38416 196
197 36167 1308051889 13080 51889 38809 197
198 693268 480620519824 480620 519824 39204 198
199 36563 1336852969 13368 52969 39601 199
200 72928 5318493184 53184 93184 40000 200
201 326532 106623147024 106623 147024 40401 201
202 45657 2084561649 20845 61649 40804 202
203 326936 106887148096 106887 148096 41209 203
204 346331 119945161561 119945 161561 41616 204
205 45250 2047562500 20475 62500 42025 205
206 692864 480060522496 480060 522496 42436 206
207 72521 5259295441 52592 95441 42849 207
208 36156 1307256336 13072 56336 43264 208
209 712663 507888551569 507888 551569 43681 209
210 36574 1337657476 13376 57476 44100 210
211 72939 5320097721 53200 97721 44521 211
212 732462 536500581444 536500 581444 44944 212
213 45668 2085566224 20855 66224 45369 213
214 921007 848253894049 848253 894049 45796 214
215 752261 565896612121 565896 612121 46225 215
216 45239 2046567121 20465 67121 46656 216
217 901208 812175859264 812175 859264 47089 217
218 772060 596076643600 596076 643600 47524 218
219 36145 1306461025 13064 61025 47961 219
220 881409 776881825281 776881 825281 48400 220
221 36585 1338462225 13384 62225 48841 221
222 465125 216341265625 216341 265625 49284 222
223 861610 742371792100 742371 792100 49729 223
224 45679 2086571041 20865 71041 50176 224
225 484924 235151285776 235151 285776 50625 225
226 841811 708645759721 708645 759721 51076 226
227 45228 2045571984 20455 71984 51529 227
228 495278 245300297284 245300 297284 51984 228
229 822012 675703728144 675703 728144 52441 229
230 36134 1305665956 13056 65956 52900 230
231 475479 226080279441 226080 279441 53361 231
232 36596 1339267216 13392 67216 53824 232
233 871055 758736813025 758736 813025 54289 233
234 455680 207644262400 207644 262400 54756 234
235 45690 2087576100 20875 76100 55225 235
236 890854 793620849316 793620 849316 55696 236
237 435881 189992246161 189992 246161 56169 237
238 45217 2044577089 20445 77089 56644 238
239 910653 829288886409 829288 886409 57121 239
240 416082 173124230724 173124 230724 57600 240
241 36123 1304871129 13048 71129 58081 241
242 930452 865740924304 865740 924304 58564 242
243 36607 1340072449 13400 72449 59049 243
244 723017 522753582289 522753 582289 59536 244
245 950251 902976963001 902976 963001 60025 245

yangchuanju · 发表于 2022-3-21 15:54

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-21 15:57 编辑

奇葩的平方数3
有一类平方数很奇葩，将它分成位数相等的左右两部分，对应各位的数字完全相同；
其平方根又可分成n.5个小循环节（最后半个循环节的末位要加1），它的循环节就是某个素数的循环节。
如：428571428571428571429^2=183673469387755102041 183673469387755102041——21*2位

428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571429^2=
183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102041 183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102041——63*2位

第1式左端含3.5个3/7的循环节，右端含两组完全相同的数字183673469387755102041；
第2式左端含10.5个3/7的循环节，右端含两组完全相同的数字183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102041；
两平方根数中的循环节数相差7。
在第2式平方根数字的基础上，于前面再加上7个、14个、21个循环节428571，平分后的平方数也都看分成左右完全相同的两部分。
428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571429^2（6*17.5=105位)
=183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102041
183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102041——105*2位

将各式中的循环节换成142857、285714、571428、714285、857142然后平方，所得平方数全具有上述性质（请注意，循环节换成142857和285714时平方数最高位前要补加一个0，配成偶位数）。如：
平方根数平方数的左半部（右半部与此相同）
142857142857142857143 020408163265306122449
285714285714285714286 081632653061224489796
428571428571428571429 183673469387755102041
571428571428571428572 326530612244897959184
714285714285714285715 510204081632653061225
857142857142857142858 734693877551020408164
142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857143 020408163265306122448979591836734693877551020408163265306122449

285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714286 081632653061224489795918367346938775510204081632653061224489796

428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571429 183673469387755102040816326530612244897959183673469387755102041

571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428572 326530612244897959183673469387755102040816326530612244897959184

714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285715
510204081632653061224489795918367346938775510204081632653061225

857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142858 734693877551020408163265306122448979591836734693877551020408164

分别取1.5、2.5、3.5、……10.5个3/7的循环节428714（最后半节是429），然后平方所得平方数除节长3.5和10.5外，其余的平方数不能分成完全相同的左右两部分：
183673469755102041
183673469387755469387755102041
183673469387755102041 183673469387755102041
183673469387755102040 816326897959 183673469387755102041
183673469387755102040 816326530612612244897959 183673469387755102041
183673469387755102040 816326530612244898326530612244897959 183673469387755102041
183673469387755102040 816326530612244897959184040816326530612244897959 183673469387755102041

183673469387755102040 816326530612244897959183673469755102040816326530612244897959 183673469387755102041

183673469387755102040 816326530612244897959183673469387755469387755102040816326530612244897959 183673469387755102041

183673469387755102040 816326530612244897959183673469387755102041 183673469387755102040816326530612244897959 183673469387755102041

yangchuanju · 发表于 2022-3-21 15:58

奇葩的平方数4
将奇葩的平方数3中的分母7换成素数11或13等，其平方数具有相同的性质。如
36363636364^2——5.5小循环节11位
=13223140496 13223140496——2*11位
363636363636363636363636363636364^2——16.5小节33位
=132231404958677685950413223140496 132231404958677685950413223140496——2*33位
3636363636363636363636363636363636363636363636363636364^2——27.5小节55位
=1322314049586776859504132231404958677685950413223140496
1322314049586776859504132231404958677685950413223140496——2*55位

将平方根数中的小循环节36换成18、27、45、54、63、72、81、90所得平方数均可分成左右完全相同的两部分。
平方根数平方数的左半部（右半部与此相同）
090909090909090909090909090909091 008264462809917355371900826446281（前补2个0）
181818181818181818181818181818182 033057851239669421487603305785124（前补1个0）
272727272727272727272727272727273 074380165289256198347107438016529（前补1个0）
363636363636363636363636363636364 132231404958677685950413223140496
454545454545454545454545454545455 206611570247933884297520661157025
545454545454545454545454545454546 297520661157024793388429752066116
636363636363636363636363636363637 404958677685950413223140495867769
727272727272727272727272727272728 528925619834710743801652892561984
818181818181818181818181818181819 669421487603305785123966942148761
909090909090909090909090909090910 826446280991735537190082644628100

分别取1.5、2.5、3.5、……16.5个3/11的循环节36（最后半节是4），然后平方所得平方数除节长5.5和16.5外，其余的平方数不能分成完全相同的左右两部分：
132496
1322340496
13223143140496
132231405223140496
13223140496 13223140496
13223140495 8704 13223140496
13223140495 86779504 13223140496
13223140495 867768859504 13223140496
13223140495 8677685976859504 13223140496
13223140495 86776859506776859504 13223140496
13223140495 867768595041586776859504 13223140496
13223140495 8677685950413249586776859504 13223140496
13223140495 86776859504132234049586776859504 13223140496
13223140495 867768595041322314314049586776859504 13223140496
13223140495 8677685950413223140522314049586776859504 13223140496
13223140495 8677685950413223140496 1322314049586776859504 13223140496

yangchuanju · 发表于 2022-3-21 15:58

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-26 04:52 编辑

奇葩的平方数5
A102567给出500位以内的1098个“自己+自己”是平方数的正整数，A106497给出对应的500位以内的1098个“自己+自己”是平方数的平方根数。请查阅。涉及素数7,11,13,17,19,23,29,73,101,487的各种循环节及合成数77,91,143,253的各种循环节。
A106498 Numbers k such that the concatenation of k with itself自己 is a biperiod双周期 square.
13223140496, 20661157025, 29752066116, 40495867769, 52892561984, 66942148761, 82644628100, 183673469387755102041, 326530612244897959184, 510204081632653061225, 734693877551020408164

A106497 Numbers whose square is the concatenation of two identical numbers, i.e., of the form NN.
36363636364, 45454545455, 54545454546, 63636363637, 72727272728, 81818181819, 90909090910, 428571428571428571429, 571428571428571428572, 714285714285714285715, 857142857142857142858

yangchuanju · 发表于 2022-3-23 10:39

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-23 10:50 编辑

奇葩的平方数6
A020340给出19个分别以2-20为基（底）数的doublet（成对；NN型）型最小平方数各一个：
36, 4, 378225, 7056, 14393520729, 16, 9, 557904400, 1322314049613223140496, 36, 613401598811409576100, 321418490709904, 837225, 16, 7535664872989640713426833504575377836025, 36, 16900, 100, 7112889

成对的以n=2-20为基最小平方数（写成10进制数字）：
36=6^2=100100_2，4=2^2=11_3，378225=615^2=1130111301_4, 7056=84^2=211211_5, 14393520729=119973^2=1034031034013_6, 16=4^2=2*7+2*1=22_7, 9=3^2=8+1=11_8, 557904400=23620^2=1385713857_9, 1322314049613223140496=36363636364^2, 36=6^2=33+3=11_11,……

下划线后的2 3 4等数字是用10进制数字表示的基数数，下划线前的数字是用以2 3 4等数字为基的成对平方数。

yangchuanju · 发表于 2022-3-23 11:06

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-3-26 03:28 编辑

A020339给出上一楼《奇葩的平方数6》中成对的以n=2-29为基的最小平方数的十进制平方根，n=21-29对应的十进制平方数的A020340网页中未给出。
a(n)^2 is the least square base-n doublet (base-n representation is the concatenation of 2 identical strings).

6, 2, 615, 84, 119973, 4, 3, 23620, 36363636364, 6, 24766945690, 17928148, 915, 4, 86808207405692007605, 6, 130, 10, 2667,
21——95530227420606, 10623969116570, 12, 5, 343872950627253606, 9, 14, 59239353339085, 8130

		自动登录	找回密码
密码			注册