8.2数学理论的本质与纯粹数学的问题

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20世纪提出了纯粹数学与应用数学的术语，纯粹数学 被定义为“从公理出发使用形式逻辑推理的数学”。古代的毕达哥拉斯定理是使用了“线段长度可以用实数表示的公理进行了逻辑推理”得到的定理，因此它属于最初的纯粹数学，希尔伯特的《几何基础》与ZFC 形式语言集合论都是“纯粹数学”，前文已经讲到：这种数学是不完善的，数学理论不能单靠形式逻辑方法解决，对无穷集合，应当知道：形式逻辑中的猅中律、反证法、数学归纳法常常不能使用；事实上亚里士多德提出这些法则时，就否定了“无穷是完成了的整体的实无穷观点”。此外，对形式逻辑下的定义、公理、定理、公式，必须在联系实际应用进行检验，违反事实的的地方，必须消除、改写或注解；余元希等学者编写的《初等代数研究》中使用ZFC形式语言公理体系中空集存在与并集合公理定义自然数的做法，不仅不便于实际应用，而且根据并集合概念中“某一元素出现多次与一次相同”的概念，他的等式 =3的左端可以说是空集而不等于3，为此笔者提出了第一节的从现实问题抽象出来的自然数定义。对文献[14] [82 -92页中介绍了使用选择公理的“分球奇论”与不用选择公理的许多的与许多"怪"定理，都可以根据“无穷集合是其的元素个数既可以无限增多又不能增加到底不能构造完毕的事实”解决。为了接解决本文引言中“连续型随机变量基本事件的发生概率是不是0呢？”的问题，笔者不仅看了许多书，而且参加过概率论的研讨会。对王梓坤《概率论基础及其应用》（北京，科学出版社1976年47页）谈到的无法解决“康托尔奇异分布函数”的分布密度问题，笔者在文献[7]82-84页使用全能近似分析方法解决了；笔者在文献[7]85-87页，“关于概率论基础问题”的标题下使用唯物辩证法进行了许多讨论后，根据理想点与近似点相互依赖的关系提出了使用概率密度与微分乘积 近似表示连续型随机变量 取实数x的理想基本事件发生概率的方法，根据这个近似表达式，就可以说连续型随机变量发生的概率不是0，而是足够小正数，而且可以说：分布密度大的地方，发生的概率也大，从而解决了“连续型随机变量发生概率是不是0呢”的问题。
春风晚霞网友说过“圆周是一个实无限多的点的集合，即：是平面上到圆心O 的距离等于半径R的实数的无穷集合”这个说法也是纯粹数学的说法，联系实际，应当知道：没有大小的点是画不出来的，圆周可以是用圆规画出的一条封闭曲线，这样的曲线不是没有粗细的理想曲线，表示半径R长度的实数也是测不准的，实数与实数集合都具需要使用近似到理想的唯物辩证法阐述；无穷多个点无法被列举完毕，需要根据具体情形采用足够多现实点近似表示。例如：当半径为1厘米时，可以把圆弧长0.1毫米的弧段作为一个现实近似点，这时圆周就可以是628个近似现实点的集合；如果采用纳米技术，可以说圆周是弧长1纳米的弧段作为一个现实近似点的6283185307 个现实近似点的集合；随着科学技术的进步，可以提出更小的点，个数更多的圆周上的点的集合，但“无穷集合不是完成了的整体的实无穷集合，无穷与有穷之间具有相互依赖、相互斗争的对立统一关系”。笔者不是拒绝点没有大小的的说法，但需要知道它是忽略了现实点的足够小才抽象出来的概念，理想与现实之间具有对立统一的关系；没有大小的理想点是长度趋向于0的现实近似点无穷序列的极限，无穷多是个数无限增多的有穷数列的极限；∞×0的不定式需要使用∞与0来源的序列性质的变数中的数字乘积的无穷数列的趋向性极限计算后，得到其乘积为2π。
总之，应当知道：现实事物的现实集合、现实线段长度、时段长度、现实物体的大小、现实物体的运动是数学理论的现实模型；数学理论的本质是研究现实数量大小、多少及其关系表达方法的科学；是解决生产实际问题的活生生的工具。列宁讲过“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化，粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那末我们就不能想象、表达、测量、描述运动”[16]。事实上，在航天、水利、道路工程与桌子、椅子、宇宙飞船的制作中，线段长度、空间各点坐标的测量、计算都做不到绝对准，只能做到满足一定误差界的足够准。例如，宇宙飞船的回落地点与时间的计算，就是如此，由于这个地点与时间算不准，就需要在误差界的范围内搜找宇宙飞船。虽然数学理论阐述时，需要从实践出发提出自然数、有理数、实数，点、线、面、平行线的理想性数学术语，并使用形式逻辑法则进行形式逻辑推导，但数学理论阐述时，不能单靠形式逻辑，还必须使用理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行。例如对于任意角三等分的难题，可以首先，以角的顶点O为圆心画圆与角的两边交于两点B、C，然后将与圆弧BC 重合的钢丝拉直，得直线段BC，将直线段BC三等分后, 再将钢丝与圆弧重合，就得到这个圆弧BC的两个三等分点，将这两个三等分点与O点连成两条射线，就得到这个角的三等分，但由于画出的交点与直线段的三等分点做不到绝对准，这个角的三等分工作也有近似性。