圆的面积公式证明

小学生学高数

在小学期间，我们学习了圆的面积公式S＝πr^2(r是圆半径，^符号表示幂).但是小学教材的表述不够准确，存在知识上的模糊－－将圆分割成无限个扇形，将这些扇形拼凑成一个以弧为长，以半径为宽的长方形，圆的面积近似长方形的面积，那么可得圆的面积公式.其中存在的错误是“面积近似但不相等”，但小学教材为了方便学生理解，定义上的失误并不必如此追究，相信许多大佬都知道圆的面积积分式，这是准确无误的.这里有一种极限面积求法，适于尚未接受高等教育的学生理解和使用.

如图，圆O是所有圆的集合(半径为r)，作它的内接正2^(n+1)边形(n∈N*)，相当于将圆分割成正多边形，用正多边形的面积来近似圆的面积.我们把正2^(n+1)边形的面积列成一个{Xn}数列，易知该数列是收敛于a的(指数列有极限，即当n取一个无穷大的数时，Xn无限接近一个确定的数a)，这个a就是圆的面积.
概念上，a是当n→∞(n趋于无穷大)时Xn无限接近的数，即lim(n→∞)Xn=a(lim表示取极限)，所以数a是确定的，并不是一个近似值，且由定理 数列的极限是唯一的.可知数a是唯一的，a就是圆的面积.
所以求圆的面积等价于求数列{Xn}的极限.
由三角形的面积公式S＝1/2ab·sin〈a，b〉(这里用到向量夹角的表示法，目的在于方便理解，表示a与b的夹角)可知，
n＝1时，S△AOM＝1/2r·r·sin90度＝1/2r^2，那么4[本质是2^(1+1)]边形AMIE的面积等于4·1/2r^2(本文中的分数式都是一个整体，除了有括号需要依照顺序计算外，分数式统一看作一个整体).
同理可以计算n＝2，3，4...时的多边形面积.得到数列{Xn}的通项公式，Xn＝1/2r^2·sin(π/2^n)·2^(n+1)(注，π是180度的弧度制表示).
则有S圆＝lim(n→∞)1/2r^2·sin(π/2^n)·2^(n+1).
因为sin(π/2^n)①在n→∞时是无穷小，即存在一个正数ε(无论它有多么小)，都满足①-0＝ε.所以sin(π/2^n)在n→∞时等价于π/2^n.
则S圆＝1/2r^2·π/2^n·2^(n+1)(注，这里lim(n→∞)已经在等价无穷小的时候体现了，所以式子下来是没有lim的).
          ＝1/2r^2·2π
          ＝πr^2
(证毕)

编者(本人)是初二的一名普通学生，限于我的水平，可能会存在知识性错误或解释不清楚，敬请读者谅解，读者可以指出其中的错误，真理至上，追求真理矢志不渝.

jzkyllcjl

追求与探讨真理的做法跟好。

elim

jzkyllcjl 经常忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣．

jzkyllcjl

楼主的研究很好。好的地方在于联系了实践的事实，揭露了极限方法的本质。是唯物辩证的方法，希望你继续药自然数、有理数、毕达哥拉斯定理，无理数、圆周率的问题，虽然你是初2的程度，但方法对头，我90岁了，希望和你多谈谈。 ，

elim

jzkyllcjl 又忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣了．

jzkyllcjl

elim 发表于 2022-3-30 02:34
jzkyllcjl 又忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣了．

elim 骂人是无理表现。楼主还需要证明180度的弧度表示表达数字为什么是圆周率，还要证明重要极限
limα→0 时，sinα 与α 是等价无穷小。

elim

jzkyllcjl 又忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣了．

春风晚霞

       读了楼主《圆的面积公式证明》，米岁之人感慨良多。首先我为楼主超前自主学习极限理论点赞。其次我觉得在低学段，不宜把精力放在对数学哲学基础地研究之上。更不宜在这种众说纷纭的民科论坛上征求意见。当务之急还是按教师和教科书的要求完成学业，争取提前顺利地考入高级学校，以便更深入地研究极限理论和以此为基础的学科知识。再次，我按楼主思路，写出参考证明于次:
【证明】:因为以圆内接正n边形的边为底，半径r为腰，顶角为\(2π\over n\)的等腰三角形的面积为\(1\over 2\)\(r^2\) sin\(2π\over n\)，并且\(\quad\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\({{sin{{2π}\over{n}}}\over{{{2π}\over{n}}}}\)=1.(应用重要极限\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\)\(sinx\over x\)=1。可在半圆上作趋近于0的圆周角，观察该角所对直角边和弧长，加深对该公式的记忆和理解。)所以，\(S_圆\)=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\(n\over 2\)\(r^2\) sin\(2π\over n\)=\(r^2\over 2\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)2π\({{sin{{2π}\over{n}}}\over{{{2π}\over{n}}}}\)=\(2πr^2\over 2\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\({{sin{{2π}\over{n}}}\over{{{2π}\over{n}}}}\)=π\(r^2\).所以，\(\mathbf{S_圆= πr^2}\)

jzkyllcjl

楼主还需要证明180度的弧度表示表达数字为什么是圆周率，还要证明重要极限
limα→0 时，sinα 与α 是等价无穷小。

elim

jzkyllcjl 经常忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣．