一些极限悖论

小学生学高数

易知，1/3＝0.3的循环节，即0.3333333...(无穷多个3)，且1/3×3＝1，0.3的循环节×3＝0.9的循环节.
那么有1-1＝0.00...(无穷多个0)1=0
又0.00...(无穷多个0)1是无穷小，即存在一个正数ε(无论它有多么小)，使得0.00(无穷多个0)1-0＝ε.
可知0.00...(无穷多个0)1→0，且≠0，则1-1>0.
0.00...(无穷多个0)1可以写成1/10^n(^符号是幂的意思)(n→0)，求lim(n→0)1/10^n可得0，即无穷小而不是0.
又可证1-1>0.

那么，是极限，还是数的运算出了问题呢？

大家可以尝试证伪1-1≠0这个命题(在证伪时不能用到1-1=0，因为它未经证实，证伪1-1≠0是等价于证明1-1＝0的，使用了1-1＝0相当于默认了1-1≠0是假命题，而证伪是不能用未经证明的结论或不经证明肯定某结论的).

elim

0.00...(无穷多个0)1不是无穷小而是0．

小学生学高数

0.00...(无穷多个0)1可以写成1/10^n(^符号是幂的意思)(n→0)，求lim(n→0)1/10^n可得0，即无穷小而不是0.
又可证1-1>0
.如果说0.00(无穷个0)1是0的话，n趋于无穷大时，1/10^n就＝0，而不是趋于0，这样来看，求极限式lim(n→∞)1/10^n＝0就是错误的，但lim(n→∞)1/10^n的值就是0，分母无穷大，分子是1，这样的分式趋于0，而不等于0.
帖子中说了，我再证一次.

麻烦各位热爱数学的人在反驳时加上理由.

elim

小学生学高数 发表于 2022-3-27 07:35
0.00...(无穷多个0)1可以写成1/10^n(^符号是幂的意思)(n→0)，求lim(n→0)1/10^n可得0，即无穷小而不是0.
...

1/10^n 只有有穷多(n个)个0.

jzkyllcjl

小学生学高数 发表于 2022-3-27 14:35
0.00...(无穷多个0)1可以写成1/10^n(^符号是幂的意思)(n→0)，求lim(n→0)1/10^n可得0，即无穷小而不是0.
...

你的研究精神与帖子很好。事实上，菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷一分册，38页已经指出：“由于历史性形成的术语《无穷小》不是十分恰当的，希望……”这说明：1./n 或1/10^n 都是变量，而不是定数；虽然它们的极限值是0，但极限值具有变量性数列不可达到的性质，的事实需要被尊重。 因此，小学、中学中的等式1/3=0.333……，π=3.1415926……，√2=1.41421356……都是概念错误的等式，这些等式右端的无尽小数都是以有尽小数为项的无穷数列的简写，它们 都是变数，而不是定数， 它们的趋向性极限值才等于左端的定数。  

elim

jzkyllcjl 经常忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣．

小学生学高数

谢谢大家的评论，是我见识少了.

jzkyllcjl

小学生学高数 发表于 2022-3-28 12:14
谢谢大家的评论，是我见识少了.

楼主的研究精神与帖子很好。事实上，菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷一分册，38页已经指出：“由于历史性形成的术语《无穷小》不是十分恰当的，希望……”这说明：1./n 或1/10^n 都是变量，而不是定数；虽然它们的极限值是0，但极限值具有变量性数列不可达到的性质，的事实需要被尊重。 因此，小学、中学中的等式1/3=0.333……，π=3.1415926……，√2=1.41421356……都是概念错误的等式，这些等式右端的无尽小数都是以有尽小数为项的无穷数列的简写，它们 都是变数，而不是定数， 它们的趋向性极限值才等于左端的定数。  

elim

jzkyllcjl 又忘记告诉大家他是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣了．

春风晚霞

       路过。读了楼主对0.999…是否等于1的思考。在回答之前我想问问楼主关注这个问题的目的是什么？如果是自娱(俗称搞来耍)，那么在众网友的回复中你釆纳谁的意见均无大碍。
       一、如果是为了教学或辅自已家的学生，那么楼主就应该釆纳elim先生的建议。因为jzkyllcjl先生的见解，尚未得到教育主管部门的认可，冒然釆用，多为你培养几个本科小学生、本科初中生那是无疑的。证明无限循环小数0.999…=1的方法较多，下面给出两种常用的证明方法：
       1、反证法
       证明：假设无限循环小数0.999……<1，则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1。
       2、解方程法
       证明：   设t= 0.9999…，则10t=9+0.999…即10t=9+t；解方程得：t=1    即是：0.999…=1。
       二、如果楼主关注这个问题是为了进一步学习现行实数理论，建议你考虚如下命题：
       命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)\)=A，则当n\(\to\)∞时，f(n)=A.
       证明：假设n\(\to\)∞时，f(n)≠A，则必有|f(n)-A|=α>0，令ε=\(α\over 2\)，存在N，当n>N时有|f(n)-A|=α>ε.∴\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)\)≠A，这与已知\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)\)=A矛盾。所以假设n\(\to\)∞时，f(n)≠A不成立。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}f(n)\)=A，则当n\(\to\)∞时，f(n)=A(即极限可达)。
       至于楼主提出的悖论，可结合极限可达性自行考虑。