一三角形面积 S 周长 P，各边等距离向外作周长 P+10 的相似三角形，求对应边之间距离

Nicolas2050

A string, 10 units longer than the perimeter of a triangle, is wrapped around the triangle to make a similar triangle with a gap of uniform size between the two perimeters. In terms of the area and the perimeter of the original triangle, how big is the gap?

小fisher

设小三角形周长为p，面积为S
则大三角形周长为p+10，根据周长与面积的比例，可以得出
大三角形面积：\(S'=\frac{\left( p+10\right)^2}{p^2}S=S+\frac{20\left( p+5\right)}{p^2}S\)
按下图做辅助线，可在得出\(S'=S+ph+\frac{10h}{2}=S+\left( p+5\right)h\)
最后得到：\(h=\frac{20}{p^2}S\)

luyuanhong

Nicolas2050

把n边形从一个顶点出发,把n边形分成（n-2）个三角形
此时：
设多边形1与多边形2的相似比=k
对应的三角形都相似,且相似比=k,面积比=k^2;【这个是三角形的性质】
设：对应三角形的比=k
对应三角形的面积比=k^2;
于是得到：
s1/s1'=s2/s2'=s3/s3'=.=s(n-2）/s(n-2)'=k^2;
利用等比性质：所有分子相加/所有分母相加=k^2;
即：多边形1的面积/多边形2的面积=k^2;