ΔABC 中，BD=DE=EC，∠BAD=α,∠DAE=π/4,∠EAC=β，求(1+tanα+tanβ)/(tanαtanβ)

mathch701

\(\triangle ABC\)中，\(D{,}E\)為\(\overline{BC}\)上的等分點，即\(\overline{BD}=\overline{DE}=\overline{EC}\)，若\(\angle BAD=\alpha\)，\(\angle DAE=\frac{\pi}{4}\)，\(\angle EAC=\beta\)，則\(\frac{1+\tan\alpha+\tan\beta}{\tan\alpha\times\tan\beta}\)=__________

數海泛舟

@mathch701，自己算吧，別人說的不一定正確，以前的高中，數學老師都不熟了。

波斯猫猫

题：ΔABC 中，BD=DE=EC，∠BAD=α,∠DAE=π/4,∠EAC=β，求(1+tanα+tanβ)/(tanαtanβ) 。

思路：设A(a，b)，B(0，0)，D(1，0)，E(2，0)，C(3，0)，∠ABC=θ，其中b＞0，且a≠0或1，2，3。

显然，直线AC，AE，AD，AB的倾角与斜率的关系分别为：

（1）tan(θ+α+β+π/4)=b/(a-3)，（2）tan(θ+α+π/4)=b/(a-2)，（3）tan(θ+α)=b/(a-1)，

（4）tanθ=b/a。

由（3）和（4）可得，tanα=b/(a^2+b^2-a)，由（1）和（2）可得，tanβ=b/(a^2+b^2-5a+6)，

由（3）和（2）可得，b=a^2+b^2-3a-2。

故(1+tanα+tanβ)/(tanαtanβ)

=[1+b/(a^2+b^2-a)+b/(a^2+b^2-5a+6)]/{[b/(a^2+b^2-a)][b/(a^2+b^2-a)]}

=（3b^2-4a^2+12a+4b-8）/b^2  (消去b=a^2+b^2-3a-2)

=7。

注：当a=1或2时，属特殊情形，易验证其值仍为7。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

因(1+tanα+tanβ)/(tanαtanβ)=cotαcotβ+cotα+cotβ，

故利用余切就可避免对两种（a=1或a=2）特殊情形做讨论（如cotθ=a/b），解法更精妙。

注：为何a=0或a=3的情形不存在呢？

波斯猫猫

为何a=0，或a=3的情形不存在呢？