求定积分 ∫(0,π/2)dx／[a^2(sinx)^2+b^2(cosx)^2]^2（a,b＞0）

永远

定积分求解\[\int_0^{\tfrac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{({a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x)}^2}}}} \]

答案是这个\(\frac{{\pi ({a^2} + {b^2})}}{{4{a^3}{b^3}}}\)

永远

想了一夜，头大，求助于陆老师，救救孩子吧

luyuanhong

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

xfhaoym

这是一个网友作的。

luyuanhong

前面是求导，说明 F(x) 的导数是 f(x) ，即  { F (x) }'=f(x) ，式子中当然没有积分号。

然后，从 { F (x) }'=f(x) 可推出后面的不定积分公式 ∫f(x)dx = F(x)+C 。

再后面是利用不定积分公式求定积分，下面大括号 { } 内的部分，是不定积分得到的 F(x)  ，

F(x) 当然不能再加积分号，而是要用积分上下限代入 { F(x) } ，求出定积分值 F(π/2)-F(0) 。

永远

陆老师好，请问您是怎么知道：


\(\displaystyle{\left\{ {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{2{a^3}{b^3}}}[x - \arctan \frac{{(a - b)\sin 2x}}{{(a + b) + (a - b)\cos 2x}}] - \frac{{({a^2} - {b^2})\sin x\cos x}}{{2{a^2}{b^2}({a^2}{{\cos }^2}x + {b^2}{{\sin }^2}x)}}} \right\}^\prime }\)

求导后就是等于这个被积分函数：


\(\displaystyle\frac{1}{{{{({a^2}{{\cos }^2}x + {b^2}{{\sin }^2}x)}^2}}}\)


这样想的思路或原理是什么？？？？这是我要问的关键点。为什么不是先从被积函数推出上面的原函数，反而是从原函数求导再求出被积函数，更何况所求的原函数一大长串，这思路有点反常啊，求解

Future_maths