究竟什么是恒等变换identity transformation

wufaxian

我看的书上没有给出严格的定义，我在百度上查到的是定义是：使得集合中任何元素都不变的变换叫恒等变换。这本来很好理解。但是我看到了如下一个例题 。老师说：恒等变换的矩阵表示不一定是单位阵。当输入基底与输出基底不同时，其矩阵表示不一定是单位阵！如下图矩阵P。

原本很好理解线性变换T 使得T(v)=v。就是恒等变换。现在突然不是这种形式了。以下是我的理解，不知道对不对：假设 二维平面上一个向量(1,1)经过线性变换T 变换后，还是(1,1)。这是恒等变换。但是现在输入基还是标准的xoy坐标轴。输出基底变成原基底逆时针旋转45度。这时要保证(1,1)这一点在平面上的绝对位置不变。那么他在新坐标系下下的坐标就是(\(\sqrt{2}\),0)。这样从形式上看不是T(v)=v了。但这是由于基底变化造成的。其实质还是T(v)=v，还是恒等变换。
其实就是线性变换前后向量的绝对位置没发生变化。这就是恒等变换。对么？