4—轮构形为什么一定是可4—着色的

雷明85639720

4—轮构形为什么一定是可4—着色的
雷  明
（二○二二年四月二十一日）

在研究四色问题时，一般都是以有限的、不可避免的轮构形来替代无穷多的图的。这是一个把研究对象是无穷的问题转化成有穷问题的典型案例。一般在画构形时，只画出待着色顶点V及其周围的围栏顶点，而围栏顶点以外的其他所有顶点是不画出来的。虽然未画出，但这些顶点可都是已经进行了可4—着色的。图1 就是一个4—轮构形，虽然围栏顶点已占用完了A、B、C、D四种颜色，但其待着色顶点V仍是一定可以着上这四种颜色之一的，即4—轮构形一定是可4—着色的（即是我们平时所说的“可约的”）。

从图1中可以看出，从4—轮构形的左侧围栏顶点B到右侧围栏顶点D间的B—D链是不连通的，从B色围栏顶点或D色围栏顶点开始，交换B—D链，都一定是可以从围栏顶点中空出颜色B或D的，可以给待着色顶点V着上（读者可自已交换，自已着）。如果从B色围栏顶点到D色围栏顶点间的B—D链是连通的，则从A色围栏顶点到C色围栏顶点间的A—C链一定是不会连通的（如图2）。因为A—C链与B—D链是相反的色链，而相反的色链是不可能相互穿过的。有了B—D链的连通，就不可能再有A—C链的连通。所以4—轮构形一定是可以4—着色的。4—构形也一定是“可约的”。
这里所用的方法就是坎泊在1879年创造的颜色交换技术。

雷  明
二○二二年四月二十一日于长安