ABCD-EFGH 中 A(-4,-1,1)，AC:x+2=(y-3)/2=-(z+3)/2，GE:-(x-2)/3=(y+2)/4=z，求体积

wintex

ABCD-EFGH 中 A(-4,-1,1)，AC:x+2=(y-3)/2=-(z+3)/2，GE:-(x-2)/3=(y+2)/4=z，求体积

波斯猫猫

那个方向向量！？

注：原来看错了。它不是正方体，是长方体。

波斯猫猫

答案：270/√26

波斯猫猫

题：在长方体ABCD-EFGH 中，顶点 A(-4,-1,1)，直线AC: x+2=(y-3)/2=-(z+3)/2，

直线GE: -(x-2)/3=(y+2)/4=z，求长方体的体积。

思路：取GE与AC的中点分别为M，N，则MN是GE与AC的公垂线段。

令P(a，b，c)是AC上的点，则a+2=(b-3)/2=-(c+3)/2=t，即a=t-2，b=2t+3，c=-2t-3。

Q(x，y，z)是GE上的点，令-(x-2)/3=(y+2)/4=z=r，则x=2-3r，y=4r-2，z=r。

故PQ^2=(t+3r-4)^2+(2t-4r+5)^2+(2t+r+3)^2=25(r-1)^2+(3t-r+4)^2+9，

即当r=1，t=-1时，PQ的最小值是MN=BE=h=3。这时M(-1，2，1)，N(-3，1，-1)，

且AC=2AN=6。故AB^2+BC^2=m^2+n^2=36，即m^2+n^2=36。

设E(2-3r，4r-2，r)，则AE^2=(6-3r)^2+(4r-1)^2+(r-1)^2=26r^2-46r+38=m^2+9。

又ME^2=(3-3r)^2+(4r-4)^2+(r-1)^2=26(r-1)^2=9，

故m^2+9=26r^2-46r+38=26(r-1)^2+6(r-1)+18，或m^2=18/√26+18或m^2=-18/√26+18。

从而n^2=-18/√26+18或n^2=18/√26+18。

故总有m^2n^2=18^2(1-1/26)=18^2x25/26，即mn=90/√26。故体积mnh=135√26/13。

luyuanhong

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