关于无限集与其真子集等势的一个证明

春风晚霞

一、定理：无限集与其真子集等势.
   【\(\mathbf{证明:}\) 】设A是无限集，∴  A≠\(\phi\)。在集A中任取元素\(x_1\)，则集A-{\(x_1\)}≠\(\phi\)；∴  在集A-{\(x_1\)}任取元素\(x_2\)，则A-{\(x_1，x_2\)}≠\(\phi\)；在A-{\(x_1，x_2\)}中任取元素\(x_3\),则集合A-{\(x_1，x_2，x_3\)}≠\(\phi\)…无限次进行如此操作，得无穷集合B={\(x_1，x_2，x_3…\)｝,令集\(\mathfrak{A}\) =A-B，则A=\(\mathfrak{A}\)\(\bigcup\)B，如果我们令\(\mathfrak{B}\)={\(x_{m+1}，x_{m+2}，x_{m+3}…\)}m为定数，则有\(\mathfrak{B}\)\(\subset\)B，∴\(\quad\)\(\mathfrak{B}\)\(\bigcup\)\(\mathfrak{A}\)\(\subset\)B\(\bigcup\)\(\mathfrak{A}\)=A\(\quad\)如果我们令\(\mathfrak{C}\)=\(\mathfrak{B}\)\(\bigcup\)\(\mathfrak{A}\)，则无限集\(\mathfrak{C}\)就是无限集A的一个无限真子集。
       现在我们证明无限集\(\mathfrak{C}\)与无限集A等势。为此，我作A到\(\mathfrak{C}\)的映射
\begin{split}
\small y=f(x)=\begin{cases}
x_{m+i}=f(x_i)，x_i∈B&(1)\\x=f(x)，x∈\mathfrak{A}&(2)
\end{cases}
\end{split}
\(\quad\)∵  对\(\forall\)x∈A，唯一存在y=f(x)∈\(\mathfrak{C}\)与之对应(当x=\(x_i\)∈B时，y=\(x_{m+i}\)∈\(\mathfrak{B}\)与之对应，当x∈\(\mathfrak{A}时，y=x∈\mathfrak{A}\)与之对应)。反之，对\(\forall\)y∈\(\mathfrak{C}\)，必唯一存x∈A与之对应。所以，映射\begin{split}
\small y=f(x)=\begin{cases}
x_{m+i}=f(x_i)，x_i∈B&(1)\\x=f(x)，x∈\mathfrak{A}&(2)
\end{cases}
\end{split}
是A到其无限真子集\(\mathfrak{C}\)的一一映射。所以无限集A与其无限真子集\(\mathfrak{C}\)等势。【\(\mathbf{证毕}\)】
二、应用
     例、证明无限集(-∞，∞)与(0，∞)的元素一样多。
      【分析】：集合的势的背景就是集合中元素的多少，所以我们要证无限集(-∞，∞)与(0，∞)的元素一样多，需且只需证明无限集(-∞，∞)与(0，∞)等势即可。
      【证明】：考虑函数\(y=e^x\),    其中x∈(-∞，∞)，y∈(0.∞).    因为对任给x∈(-∞，∞)，唯一存在y=\(e^x\)∈(0，∞)与之对应.同理，对任给的y∈(0，∞)，唯一存在x=Ln\(e^x\)与之对应。所以无限集(-∞，∞)与无限集(0.∞)等势（即无限集(-∞，∞)与无限集(0.∞)的元素一样多，也就是无限集与其真子集等势。）

jzkyllcjl

一一对应两个有穷集合的元素个数相等，但无穷集合与其真子集的一一对应关系，不能表示表示它与真子集元素个数相等。

春风晚霞

       Cantor一一对应理论来源早他几百年就存在的单调函数概念。对于定义在A上，取值在B上的单调函数y=f(x),因对\(\small\forall\)的\(\small x_1\)，\(\small x_2\)∈A，总存在\(\small y_1\)，\(\small y_2\)∈B，当\(\small x_1\)≠\(\small x_2\)时，恒有\(\small y_1\)=f(\(x_1\))≠\(\small y_2\)=f(\(x_2\))，也就是说对A中每个x值，在B中都有唯一的y值与之对应。所以集合A与集合B等势。如对集合A=(-∞，+∞)，B=(0，+∞)，考虑函数y=\(e^x\)，则对\(\small\forall\)的\(\small x_1\)，\(\small x_2\)∈A，总存在\(\small y_1\)=\(e^{x_1}\)，\(\small y_2\)=\(e^{x_2}\)∈B，且当\(x_1\)≠\(x_2\)时\(e^{x_1}\)≠\(e^{x_2}\)，所以(-∞，+∞)与(0，+∞)等势。在《实变函数论》中，等势的直接背景就是元素个数一样多。你不能理解的原因，是你没有直正认识到无穷就是“没有穷尽，没有终了”的含意。数学是说理的学科，数学命题不能以个人对它的感知如何决定其真伪。也就说单靠背诵领袖语录，单靠个人在局部时空中的实践，是永远认识不了无穷的。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-4-30 01:39
Cantor一一对应理论来源早他几百年就存在的单调函数概念。对于定义在A上，取值在B上的单调函数y=f(x ...

任何人的话都需要实事求是对待。虽然毛泽东晚年犯了很大错误，但我引用的是他《实践论》《矛盾论》中的话。我应用恩格斯的话“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[5]”的论述也是正确的，全部所谓纯粹数学确实都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，特别是“无穷集合就是一个想象性值的、元素个数为非正常实数 ∞的非正常集合。”数学家得到的正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的真子集1,4,9,……元素个数相等的做法是错误的，事实上，前者比后者多了2，3，5，6，7，8，10，11，……等许多元素。、

elim

数学家说 1,2,3,...  与 1,4,9,... 对等的论断与集合个数相等没有关系。jzkyllcjl 需要戒吃狗屎。接受治疗.

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-4-30 10:32
任何人的话都需要实事求是对待。虽然毛泽东晚年犯了很大错误，但我引用的是他《实践论》《矛盾论》中的话 ...

Jzkyllcjl先生，你扯得太远了。Cantor从理论上证明了伽利略猜想，与【毛泽东晚年犯了很大错误】有什么关系？你认为对【任何人的话都需要实事求是对待】，你做到了吗？意大利数学家伽利略（Galileo1564~1642），1638年在他《两种新科学的对话》一书写道:“首先，部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数必定多于单独的平方数。然而，对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。”伽利略的这段话恰好就是实事求是的论述！所谓\(\mathbf{实事}\)就是伽利略指出的“对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，对于每个数都必定有一个确定的平方数”。你无视事实的客观性，仅凭你个人的好恶，把伽利略所陈述的事实，改成【数学家得到的正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的真子集1,4,9,……元素个数相等的做法是错误的，事实上，前者比后者多了2，3，5，6，7，8，10，11，…等许多元素】，你的这个“事实上”就是实事求是吗？[2，3，5，6，7，8，10，11，…]这些数就不存在它们的平方〖\(2^2\)，\(3^2\)，\(5^2\)，\(6^2\)，\(7^2\)，\(8^2\)，\({10}^2\)，\(11^2\)…〗吗？你用你改后的命题，去论证[前者比后者多了2，3，5，6，7，8，10，11，…等许多元素]既不讲\(\mathbf{实事}\)，也不在承认\(\mathbf{实事}\)前提下的\(\mathbf{求是}\)。而是对Cantor这个人，你改事实，拼命\(\mathbf{无事生非！}\)你【引用的是他《实践论》《矛盾论》中的话。我应用恩格斯的话“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，…，而只能从现实中来说明，…。而这样一来，问题就说明了。”】伟人的言论本身没错。然而，你引用这段话在什么地方说了[“无穷集合就是一个想象性值的、元素个数为非正常实数 ∞的非正常集合”]？大概你不知道恩格斯认为“物质世界的有限性所引起的矛盾，并不比它的无限性所引起的矛盾少”。所以，恩格斯的“数学的无限是从现实中借来的，…，而只能从现实中来说明”，也只能是用现实的无限性去说明数学中的无限性。而绝对不是用你的“曹托尔基本数列”和“趋向性极限”去说明物质世界的无限性。你不恰当(或不贴切)的引用，确实有寻章摘句，拉大旗作虎皮之嫌。所以，你的引用不是对伟人观点的继承，而是对领袖人物的亵渎！
       另外，你在我的另一主题下曾发文称【毛泽东在《实践论》中讲道：“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的叙述、已有的数学理论只是一定阶段下的某些数学家的认识，是可以改革的。再根据毛泽东《矛盾论》中的“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”。对已有的形式逻辑下的有不可解问题的数学理论，需要使用理论联系实践的对立统一法则进行叙述；不仅错误的逻辑推导，违反事实的数学概念需要删除或改革，而且对正确的逻辑推导需要说明它依据的公理、定义是如何从实践中抽象出来的，需要说明它的应用方法。为此，对已有的实数理论需要改革，只有这样，才可以消除罗素悖论、康托尔悖论。连续统假设的大难题 。伽利略猜想没有正确反应无穷集合的个数正确关系，违背了“全体大于部分”的公理，所以它的猜想需要取消。】
       jzkyllcjl先生，你的这篇贴文，表面上看慷慨激昂，大义凛然。实则分析，则是张扬自我，言之无物。下面我分以下层次与君商榷。
       1、君之贴文称[毛泽东在《实践论》中讲道：“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的叙述、已有的数学理论只是一定阶段下的某些数学家的认识，是可以改革的。]毛泽东同志的《实践论》是我们这种年龄层次的人，耳熟能详之作。毛泽东同志在《实践论》中强调实践的亲历性[即直接实践(我之亲历)和间按实践(人之亲历)]、历史性(承认在不同历史阶段实践所获得的成就)、社会性(因一个人受时空之限，不可能事事亲历实践)和阶段性(毛泽东同志把实践的过程分为感性认识和理性认识两个不同的阶段)。“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”正是对实践的亲历性、社会性和阶段性的概括和总结。先生引用毛泽东同志的这段话，司马昭之心，路人皆知。那就是我在有限范围内，根据有限的方法(如“算得到底、写得到底”的方法)考察了“无穷就是没有穷尽，无有终了”的意思。因为我实践了，所以现行实数理中凡与你的认知不一致的，那就一定是错误的。      jzkyllcjl先生，你知道人类从有限到无限的认识经历了多次“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷”吗？你知道实践的社会性和历史性吗？数学发展的近两千年年来，毕达哥拉斯在实践，希帕索斯在实践，亚里氏多德在实践，欧几里得在实践，伽利略在实践，笛卡尔在实践，牛顿在实践，莱布尼兹在实践，泰勒在实践，麦克劳林在实践，康托尔在实践，戴德金在实践，威尔斯特拉斯在实践，现行教科书编审委员会的专家学者也在实践。为什么两千多年来，这么多数学大家在实践中得出的现行实数理论，在你的眼里全是错误的呢？你经常的一句话“已有的数学理论只是一定阶段下的某些数学家的认识，是可以改革的。”那么“无尽小数不是实数，也不是定数”、“1/3=0.333…，√2=1.4142…，π=3.14159265……这些等式是错误的。”这样的认识可不是某些，而是某个“数学家的认识”，为什么又不可以改革呢？这个世界上只有两种人最胆大:一种是艺高人胆大，另一种则是无知则无畏。jzkyllcjl先生，你属于哪种呢？
       2、jzkyllcjl先生，正如毛泽东《矛盾论》中所说【“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”。】没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界。那么“曹托尔基本数列”和“趋向性极限”臆意应该是“一切事物”中的两个特殊事物吧？它们中是不是也[包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定]它们的生命，推动它们的发展？
       3、jzkyllcjl认为[对已有的形式逻辑下的有不可解问题的数学理论，需要使用理论联系实践的对立统一法则进行叙述；不仅错误的逻辑推导，违反事实的数学概念需要删除或改革，而且对正确的逻辑推导需要说明它依据的公理、定义是如何从实践中抽象出来的，需要说明它的应用方法。] jzkyllcjl先生，请你具体说说，现行实数理论中哪些是[已有的形式逻辑下的有不可解问题的数学理论]？应该如何[使用理论联系实践的对立统一法则进行叙述]？你不会认为凡属你不懂的东西就是[已有的形式逻辑下的有不可解问题的数学理论]吧？如果是那样，值得你[用理论联系实践的对立统一法则进行叙述]的就太多了！大概“曹托尔基本数列”和“趋向性极限”构想就是你认为的[理论联系实践的对立统一法则]吧？你能否有步骤有依据(不利用查表、科学计算器等方法)写岀\(e^{\sqrt 3}\)的“曹托尔基本数列”，并在此基础上求出这个“曹托尔基本数列”的“趋向性极限”？如果你不能[有步骤有依据(不利用查表、科学计算器等方法)写岀\(e^{\sqrt 3}\)的“曹托尔基本数列”]，那你的[理论联系实践的对立统一法则]又有什么用？
       4、jzkyllcjl先生认为[不仅错误的逻辑推导，违反事实的数学概念需要删除或改革，而且对正确的逻辑推导需要说明它依据的公理、定义是如何从实践中抽象出来的，需要说明它的应用方法。]这就勿需先生掛怀了，现行教科书对[错误的逻辑推导，违反事实的数学概念需要删除或改革]还是把控非常严谨的，比如说你半个多世纪唱衰数学的“改革”建议不是没被釆纳吗？当然由于没得到认可，也就没有哪个国家或地区把你[错误的逻辑推导，违反事实的数学概念]纳入教科书，当然也就不用[删除或改革]了。
       5、jzkyllcjl先生，你也只比我大两岁。不至于就老糊涂了吧？[只有这样，才可以消除罗素悖论、康托尔悖论。连续统假设的大难题 。]只有这样是指只有哪样呢？你说得出个子午卯酉吗？[伽利略猜想没有正确反应无穷集合的个数正确关系，违背了“全体大于部分”的公理]？伽利略猜想没有正确反应无穷集合的个数正确关系？伽利略猜想就是“无限集与其无限真子集等势”的正确反应呀？总不能说，因我jzkyllcjl没承认“无限集与其无限真子集等势”这一性质，所以伽利略猜想就“没有正确反应无穷集合的个数正确关系”吧！？与其说伽利略猜想[违背了“全体大于部分”的公理]，倒不如说是伽利略对亚里士多德唯心主义观点提出了质疑。先生应该知道，统治西方两干多年的“物体下落的速度与物体的质量成正比”理念，不是被伽利略的比萨斜塔实验所否定了吗？伽利略猜想正是对[“全体大于部分”公理]的质疑。恩格斯认为“全体大于部分”公理是同义反复，并指出所有部分之和就等于整体(参见恩格斯《反杜林论》2018年2月版P40页)。你是不是认为恩格斯也错了？你是不是也要把恩格斯的这一叙述也要取消？jzkyllcjl先生，你以为你算老几，凡你不懂的、不理解的、不认识的都要取消？你取消得了吗？！

任在深

请注意！
            基本单位√n(表示线段)与单位(√n)^2(表示面积）的一一对应!!
            不是自然数的胡乱对应！！
            清醒吧！
            老学究们？！

         1.√n:                   √1,                 √2,               √3               √4.....................√n,表示线段的一维数单位，
         2.(√n)^2: (√1)^2=1",   (√2)^2=2",  (√3)^2=3",  (√4)^2=4"......(√n)^2=n"表示面积的二维数单位。

       如图：

错了就是错了！知错必改善莫大焉！
数学在纠错！数学在前进！！数学要严谨！！！
                 

elim

jzkyllcjl 看见了吧？ 你不要以为吃点狗ren屎就稳坐蠢人的第一把交椅。比你更笨的还能找到！当然，你跟他是比晨二人转，没有最蠢只有更蠢，还经常互换。哈哈

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-4-30 12:41
Jzkyllcjl先生，你扯得太远了。Cantor从理论上证明了伽利略猜想，与【毛泽东晚年犯了很大错误】有什么 ...

春风晚霞：第一，我提出 【“无尽小数不是实数，也不是定数”、“1/3=0.333…，√2=1.4142…，π=3.14159265……这些等式是错误的。”】是有根据的，例如 1/3代表1被3除的理想商，是个定数，而0.333…，代表1被3除不尽的除法过程中逐步得到的不足近似值的康托尔实数理论中的基本数列，0.3，0.33，0.333，……这个数列是变数不是定数，所以等式1/3=0.333…，，是错误的。
第二，实数理论中的“康托尔基本数列0.3，0.33，0.333，……”和“它趋向性极限1/3”就是一对相互依存、相互斗争的一对矛盾，前者与后者不能相等，但前者中-0.3可以在误差界1/10 之下近似等于n1/3, 这个误差等于1/30，如果应用中发现这个误差,太大了，就可可以使用0.33近似表示1/3，这个误差等于1/300，如果应用中发现这个误差仍然,太大，就可可以使用0.333近似表示1/3，……，依次下去，可以在任意小误差界下使用基本数列中的数足够准近似全能表示1/3，这样一来,，就可以在变数性质的唯物辩证法下解决分数与无尽循环小数的关系，就有了能有了活生生的能解决生产实际问题的唯物辩证法实数理论。
第三，形式逻辑无法解决1/3与十进小数之间的关系，无法解决一元人民币的三等分问题。 无法解决布劳威尔反例。 无法解决自然对数的底e 的十进小数表达式究竟是多少的问题，无法e的√3 次幂 究竟是多少的问题，这个问题可以使用可苏俄计算器得出近似值。

elim

吃狗屎的 jzkyllcjl 篡改无尽小数概念是恶意污染人类数学语言．畜生不如．