What is the smallest x can be?

Nicolas2050

There are 5 points sitting in three-dimensional space. The smallest distance between some pair of them is 1 unit. The largest distance between some pair of them is x units. What is the smallest x can be?

wangyangke

傻人猜测：在直径为3的大球内放置9个直径为1的小球；两两球心间距离最大者，即是答案。

小fisher

这个问题等价于将5个直径为1的小球在空间中任意放置，不允许出现重叠，求球心距最大的两球之间的距离x的最小可能值
可将三球A、B、C在同一水平面内按正三角形摆放，正三角形中心为O，边长为L，在其上下各放置一个小球D、E，且与A、B、C分别相切，DE球心距为h，L与h为反相关关系，当L与h相等时，x=L=h应为本题的解（缺乏严格证明）
根据上述描述，可知DA=DB=DC=EA=EB=EC=1，设∠ADC=α，根据余弦定理，L=√(2-2cosα)；
\(AO=\frac{\sqrt{3}}{2}L\bullet\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}L=\sqrt{\frac{2-2\cos\alpha}{3}}\)
\(DO=\frac{h}{2}=\sqrt{DA^2-AO^2}=\sqrt{\frac{1+2\cos\alpha}{3}}\)
当L=h时，可解得cosα=1/7，此时
\(x=L=h=\sqrt{\frac{12}{7}}\)

小fisher

发现不用设α，直接把
DA=1
AO=L/√3
DO=h/2=L/2
代入DA^2=AO^2+DO^2，即可解得L=√(12/7)