复数 z,w 满足 |z|=3，zw+wi/2=3i+w'i/2+z，w' 为 w 的共轭，求 |w-1/2| 的最大最小值

wintex

303 請問複數

波斯猫猫

题：复数 z,w 满足 |z|=3，zw+wi/2=3i-w'i/2+z，w' 为 w 的共轭，求 |w-1/2| 的最大最小值。

思路：设w-1/2=rcosθ+risinθ，则w=1/2+rcosθ+risinθ，w'=1/2+rcosθ-risinθ。

由zw+wi/2=3i-w'i/2+z有，i(w+w'-6)/2=z(1-w)，

故i(1+2rcosθ-6)/2=z(1/2-rcosθ-risinθ)，即i(2rcosθ-5)/2=z(1/2-rcosθ-risinθ)。

因|z|=3，所以，|i(2rcosθ-5)/2|=3|1/2-rcosθ-risinθ|，

或(2rcosθ-5)^2/4=9[(1/2-rcosθ)^2+(rsinθ)^2]。

化简整理得，(rcosθ-3r+2)(rcosθ+3r+2)=0，即r=2/(3-cosθ) （舍去r=-2/(3+cosθ)）。

故1/2≤r≤1，即1/2≤ |w-1/2|≤1。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

hannah8201

把z合并 然后两边取模 得到w的轨迹方程