ABCD的复数坐标都是有理表达式，则AD, BD,CD 与圆ABC的交点的复数坐标也是有理表达式

天山草

A、B、C、D 是平面上的四个点，它们的复数坐标都是有理表达式，证明 AD, BD,CD 与圆ABC的交点 P、Q、R 的复数坐标也是有理表达式。

波斯猫猫

题：点A，B，C，D的复数坐标都是有理表达式，则AD, BD,CD 与圆ABC的交点P，Q，R的

复数坐标也是有理表达式。

思路：以圆心O为原点，射线OD（交圆与E，反向延长线交圆于F）为实轴的正方向建立复平面。

因以原点为起点的位置向量的坐标与复数是一 一对应的，(为化难为易)这里把复数视为向量（符号

示例，如“DA“表向量DA，∣DA∣表向量DA的模）。由此及条件有A,D,E与F的复数坐标都是有理表达式。

由平几有：∣DP∣∣DA∣=∣DE∣∣DF∣，从而，由点积定义得，DP.DA=DE.DF，

即（OP-OD）.DA=DE.DF，OP.DA-OD.DA=DE.DF，OP.DA=OD.DA+DE.DF，

(OP.DA)DA=(OD.DA+DE.DF)DA，(∣DA∣^2)OP=(OD.DA+DE.DF)DA，

故OP=(OD.DA+DE.DF)DA/∣DA∣^2是有理表达式。同理可证OQ和OR也是有理表达式。

天山草

由 A、B、C、D 的复数坐标可直接求得 P、Q、R 点的复数坐标如下。可见它们都是有理式：

波斯猫猫

天山草
圆心 O 与 D 的连线 OD 与圆的交点 E、F 并不是有理式，其中含有根式。  发表于 2022-5-3 12:21

OE=（r，0）和OF=（-r，0）对应的复数是r+0i和-r+0i  （r和-r）。

天山草

波斯猫猫 发表于 2022-5-3 12:31
天山草
圆心 O 与 D 的连线 OD 与圆的交点 E、F 并不是有理式，其中含有根式。  发表于 2022-5-3 12:21

...

过三个点 ABC 的圆，其圆半径表达式不一定是有理式，虽然此式是个正实数：



当 a, b, c 是某些特定的有理式时，上式可以简化成有理式，但一般情况下并不行。