|
|
本帖最后由 jzkyllcjl 于 2022-5-23 08:28 编辑
恩格斯在《自然辩证法》中的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”。事实上，现行戴德金实数理论就是从现实数量研究中抽象出来的的一种实数理论，将这个理论用来解决现实数量问题时存在着许多无法解决的问题与矛盾，对这些问题，只能从现实来说明与解决。 这个理论下的实数集合具有连续性，因此被人们称作连续统；连续统中包括无理数、有理数，有理数中包括十进小数与非十进小数；他们各有各的不同用处与矛盾；例如：在线段长度测量中，由于使用了米尺的十分之一 叫做分米，分米的十分之一叫做厘米，厘米的十分之一叫做毫米等的十进制方法，所以十进小数你具有重要的作用与价值。这个价值要求把其它有理数与 无理数表示为十进小数；这时遇到了无理数与除不尽的有理数无法绝对准表示为十进小数的问题。由于现行教科书中使用等式1/3=0.333……，π=3.1415926……，√2=1.41421356……右端的无尽小数，不仅具有永远写不到底、算不到底的事实，而且存在着连续统假设的大难题；后两个无尽小数存在着布劳威尔提出的实数集合的三分律反例。
如何解决这些问题呢？就需要根据恩格斯的上述论述，首先知道实数集合中的数是从现实数量研究中抽象出来的，这些实数在表示现实数量大小时，做不到绝对准；所以可以使用十进小数近似表示除不尽的分数与无理数。 例如，无尽循环小数=0.333……应当看作是“1被3除具有永远除不尽的事实，这个除法只能逐步得到0.3，0.33，0.333，……无穷数列，这个数列是理想实数 的针对误差界数列 的全能近似值无穷数列，这个数列可以简写为0.3333……并称它为无尽循环小数，虽然这个数列与 的差依次是1/30,1/300,1/3000,……，这个差可以无限减小，而趋向于0，但永远达不到0，只能写出全能近似等式1/3~0.333……，而不能写出等式1/3=0.333…… ”。将一元人民币分给三个人，两个人得0.33元，一个人得o.34 元，就可以了，不能做到每个人分得0.3333……元。 与十进小数之间，只有近似相等的关系，而没有绝对准相等关系。对无尽不循环小数 也是如此。 这样一来，不仅消除了连续统假设的大难题与实数集合的三分律反例，而且给出了实数的四则运算法则。这个法则是：使用收敛数列 的极限的计算法则，例如：可以得到：
π-√2= lim n→∞（3.1415926……-1.41421356……逐项相减额的数列）。但需要注意的是：括号内逐项相减做不到底，无法得到单调递增的理想实数π-√2的无穷数列表达式；但这个计算给出了理想实数四则运算的一个具体方法：如果使用科学计算器,可以得到π-√2近似等于1.7273790912166981896609546590698,但需要知道：这只是近似结果, 这个结果的最后一位数字可能大,也可能小,其误差不超过2. 如果想写出它的无尽小数表达式,可以在去掉最后一位后加省略号得: 1.727379091216698189660954659069……。根据无尽不循环小数算不到底的事实，这个四则运算法则也具有必要的近似性。
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2022-5-21 15:20
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
楼主