平面图构形分类的原则

雷明85639720

平面图构形分类的原则
雷  明
（二○二二年六月七日）

由于平面图是无穷多的，所以在研究四色问题时，一般都是用对有限的不可避免构形（即还有一个顶点未着色的图）的着色来代替对无穷多的平面图的着色。不可避免构形的四色问题解决了，平面图的四色问题也就解决了。构形有不同的种类，每一种类中又有不同的各种情况，所以对构形要进行分类且是多级的分类。各种情况下的各种不可避免构形都是可约的了，四色问题也就解决了。
1、分类的原则与一级分类：
首先根据平面图中至少一定含的一个顶点的度是小于等于5的，把平面图的构形分为可以避免的构形（即度大于等于6的构形。可把最后的待着色顶点不放在度大于等于6的顶点之上，并且不再去研穷它）和不可避免的构形（即度小于等于5的构形。任何平面图着色，最后的待着色顶点一定能放到度小于等于5的顶点之上）。
根据这一原则，以后的各级分类，都必须只能分成非此即彼的两类，才不会产生遗漏。一类是该分类后可以解决的构形，下一级分类不再进行研究了；另一类是该分类后还不能解决的问题，还需要等下一级分类再进行细分。等到没有必要再细分时，且最下一级的各细小分类都可以解决时，就可以不再细分了。按这一原则，平面图的构形，可以进行四级分类。
2、二级分类：
把不可避免的构形可再分为给待着色顶点可直接着色的构形和不可直接着色的构形两类。前一类问题就已得到了解决，后一类下一级分类再细分。
3、三级分类：
再把不可直接给待着色顶点着色的构形再分为可经过坎泊的颜色交换技述可从围栏顶点中空出某一种颜色给待着色顶点的构形和空不出任何颜色的构形。前一类问题也就得到了解决，后一类到下一级分类再细分。
4、四级分类：
再把不能直接从围栏顶点中空出任何颜色的构形按含有不含有经过了关键顶点的A—B（或C—D）环形链，分为可以断开双环交叉链的构形和不可断开双环交叉链的构形。前一类用断链交换法就解决了问题，后一类用转型交换法和别的方法都可解决问题。

雷  明
二○二二年六月七日于长安

雷明85639720

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