已知长方体的表面积和体积在数值上相等,求长方体取最小值时内接四面体的最大体积

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已知长方体的表面积和体积在数值上相等，求长方体取最小值时内接四面体的最大体积。

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2(ab+bc+ac)=abc  方便令a=1
2(b+bc+c)=bc；
c=-2b/(b+2) ，b不为-2；
b若为正数，c为负值，现实中不存在这种长方体。
end。

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题：已知长方体的表面积和体积在数值上相等，求长方体取最小值时内接四面体的最大体积。

思路：设长方体的长，宽，高分别为a，b，c。因其表面积和体积在数值上相等，也就是

abc=2(ab+bc+ca)，故abc≥6(abc)^(2/3)，或abc≥216。即体积Vmin=216，这时a=b=c=6。

当Vmin=216时，该长方体是棱长为6的正方体，此时最大的内接四面体是以其面对角线为棱的正

四面体，最大体积为正方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，即V′=216-4x216/6=72。

注：abc=2(ab+bc+ca)，即1/a+1/b+1/c=1/2，或长，宽，高的倒数之和为1/2。