f(x) 定义在实数域上，满足 f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，求 f(1)+f(2)+…+f(22)

天山草

已知 \(f(x)\) 定义在实数域上，

\(f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1\)，

求 \(f(1)+f(2)+f(3)+.....+f(22)\) 等于多少？

波斯猫猫

题：f(x) 定义在 R上， f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1，求(f(1)+f(2)+....+f(22)的值。

思路：取x=y=0得，2f(0)=[f(0)]^2，即f(0)=0，或f(0)=2。

若f(0)=0时，取y=0，有2f(x)=f(x)f(0)=0，即f(x)=0。这与f(1)=1不合。故f(0)=2。

取x=y=1得，f(2)+f(0)=f(1).f(1)=1，故f(2)=-1。

由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，取y=1得，f(x+1)+f(x-1)=f(x)，

故f(3)+f(1)=f(2)，即f(3)=-2。从而由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)得f(6)+f(0)=4，即f(6)=2。

同理有f(12)+f(0)=4，即f(12)=2；f(24)+f(0)=4，即f(24)=2。

故f(1)+f(3)=f(2)，f(2)+f(4)=f(3)，f(3)+f(5)=f(4)，...，f(21)+f(23)=f(22)，f(22)+f(24)=f(23)，

即(f(1)+f(2)+....+f(22)=f(2)-f(24)=-1-2=-3。

luyuanhong