矩阵A变成行阶梯矩阵U以后零空间不变，有N(A)=N(U)，依据是什么？

wufaxian

请看下图。只给出了N(A)=N(U)的结论。但是没有给出证明过程。我觉得这个结论合理。但是我不知道我的思考过程是否正确。我把思考过程写下来。请老师看看是否有错误？
A转化为行阶梯型的过程，完全可以转化为A右乘若干初等矩阵。初等矩阵是可逆矩阵。满秩。因此初等矩阵各行线性无关。故初等矩阵的行向量可以看作一组基底。A右乘初等矩阵，相当于A的每一列分别向U的每一行进行投影，因此矩阵U的列向量代表矩阵A的列向量在“以初等矩阵行向量为基底构成空间”中的坐标。或者说可以看作矩阵A的列向量变换到初等矩阵行向量张成空间当中新的列向量。又因为矩阵A的列向量维数与初等矩阵张成空间维数相等(否则A无法右乘初等矩阵)。因此在标准基下A当中线性无关的列 变换到 初等矩阵张成的新空间以后仍然线性无关。原本在标准基下A当中线性相关的列 变换到初等矩阵张成的新空间以后仍然线性相关。

因此A经过初等变换后秩不变，有r(A)=r(U) 。根据计数定理 矩阵A零空间的维数=矩阵U零空间的维数。 但是到了这一步可以推出N(A)=N(U)么？总觉得还差点什么？
何为两个空间相等的充要条件？例如：一个向量在A空间中，必然也在B空间中，则A空间等于B空间？还是说两个空间的基底必须重合，这样同一个向量在这两个空间中的坐标将完全一致？