椭圆 x^2／4+y^2=1 焦点为 F1,F2，P 在 x+2√3y=4√3 上，∠F1PF2 最大时，求 PF1/PF2

dodonaomikiki

SJTU①，  椭圆与角度



有兴趣的看看，没兴趣的就不要乱飞

dodonaomikiki

\(   F_1PF_2     \) 达到最大时，
\(    \frac{PF_1}{ PF_2  }      \) 等于多少


                             

dodonaomikiki

                  
Do   an  affine   transformation

\(   \begin{cases}                  x=2m  \\      y=n             \end{cases}  \)

dodonaomikiki

经过艰苦计算
得到直线上的一点  \(   P'（   \frac{3\sqrt{3}   }{4},    \frac{3   }{4} ）                      \)

dodonaomikiki

回到放射之前，
得到直线上的一点  \(   P（   \frac{3\sqrt{3}   }{2},    \frac{3   }{4} ） \)

dodonaomikiki

回到放射之前
直线\(     x=-2\sqrt{3}y+4\sqrt{3}    \)

再来计算线段长度

\( PF_1= \sqrt{(  \frac{5}{4}    )^2+(  \frac{  3\sqrt{3} }{2}   )^2}    \)
\( =\sqrt{  \frac{25  }{16}  +         \frac{12}{16}   }    \)
\( =\frac{  \sqrt{37}    }{4}    \)



\( PF_2= \sqrt{(  \frac{5}{4}    )^2+(  \frac{  5\sqrt{3} }{2}     -\sqrt{3})^2}    \)
\( =\sqrt{  \frac{25  }{16}  +         \frac{25  \bullet   3  \bullet  4}{    4  \bullet  4   }   }    \)
\( =5\sqrt{  \frac{1  }{16}  +         \frac{7}{16}   }    \)
\( =\frac{  5\sqrt{8} }{4}    \)



\(    \Longrightarrow      \frac{    PF_1  }{  PF_2  }=  \frac{  \sqrt{37}   }{5 \sqrt{8}  }     \)


         

dodonaomikiki

怀疑要么计算或者变换上出了错误？



要么呢，就是压根儿不应该作一个afine   transformation

dodonaomikiki

凭借粗糙的回忆，
运用物理学上的镜面反射，
好像不能解决此类题目

luyuanhong

dodonaomikiki

附加的思考一哈：


两个焦点的镜面反射点，'
跟本题中的P点不重合