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发表于 2022-7-6 05:43
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本帖最后由 yangchuanju 于 2022-7-6 05:47 编辑
【转载】愚公688贴
8、无穷小量的比较
设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.
若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等价无穷小，记为 α~β
而判断无穷小量阶的高低的极限理论：
教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。
就是看两个比较的无穷小量趋于0的速度。
现在我们来判断π(1-1/p）的极限：
在x→∞时，p→∞,
π(1-1/p）=π[(p-1)/p[=π(p-1)／π(p)；
π(p-1)→∞与π(p）→∞ ,则π[1/(p-1)]→0，π[1/(p)]→0，
那么这两个无穷小量是否是同阶无穷小量呢？
以实验数据作依据，即可得到结论：
p( 2 )= 3, π[1/(p)]= .3333333333333333 , π[1/(p-1)]= .5
p( 3 )= 5, π[1/(p)]= 6.666666666666667D-02 , π[1/(p-1)]= .125
p( 4 )= 7, π[1/(p)]= 9.523809523809523D-03 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-02
p( 5 )= 11, π[1/(p)]= 8.658008658008657D-04 , π[1/(p-1)]= 2.083333333333333D-03
……
p( 135 )= 761, π[1/(p)]= 1.592007967968415D-318 , π[1/(p-1)]= 9.46898549143166D-318
p( 136 )= 769, π[1/(p)]= 2.070135056074823D-321 , π[1/(p-1)]= 1.23269378637391D-320
p( 137 )= 773, π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
p( 138 )= 787, π[1/(p)]= 0 , π[1/(p-1)]= 0
显然两者趋于0的速度差不多，但是π[1/(p)]÷π[1/(p-1)]≠1，故两者是同阶无穷小量。
这是很容易用一个小程序来验证的。
就是因为世界数论界对素数发生率作了错误的结论，x→∞时素数发生率趋于0，
于是他们对一系列的问题，都无法做出正确的判断：
为什么x→∞时，素数数量趋于无穷多？π(N)→∞ ，解释不了。
偶数趋于无穷大时，歌德巴赫猜想有解吗？
因为在数论家的眼中，充分大的偶数2X的大半区[x,2X]是不该有素数，或者素数稀少的，(2X-p) 怎么是素数而能够形成素对？只能把(2X-p)表示为“殆素数”，哀叹“现有的数学方法不能解答猜想问题“，……
我就是在质疑啊！x→∞时，1/x→0是不错的，问题上怎么能够推理到 1/lnx →0 ? 1/x与1/lnx根本是不同阶的，依据上面极限理论得出的？
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发表于 2022-7-6 05:39
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