【趣题分享】试证若 T(1)=2, T(n+1)=T(n)^2-T(n)+1, 则 {T(n)} 两两互素，倒数和=1

elim

题：设 \(T_1 =2, \;\;T_{n+1}= T_{n}^{2} -T_n +1\) 试证

(i)  \(\gcd(Tm,Tn)=1\;(m\ne n)\)

(ii) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{T_i }=1.\)

luyuanhong

elim

谢谢陆老师的详解！功力深厚！

下面试试较抽象粗略的方法：(i) 记\(P(x)=x^2-x+1,\; P^{\langle m+1\rangle}(x)=P(P^{\langle m\rangle}(x))\)
即 \(P^{\langle m+1\rangle}=P\circ P^{\langle m\rangle}\) 是\(P\)的\(m+1\)次复合.. 易见 \(P^{\langle n\rangle}(0)=P^{\langle n\rangle}(1)=1\) 所以对
\( n > m\) 有多项式\(Q_{n-m}\) 使 \(T_n = P^{\langle n-m\rangle}(T_m) = T_m Q_{n-m}(T_m)+1\)
故 \(\gcd(T_m, T_n) = 1\;(n>m)\)
(ii) \(\because\; T_{n+1}-T_n = (T_n-1)^2\ge 1,\quad\therefore \;\; T_n\to \infty (n\to\infty)\) 再由
\(T_{n+1} -1 = (T_n-1) T_n,\;\;\;\dfrac{1}{T_{n+1}-1}=\dfrac{1}{T_n-1}-\dfrac{1}{T_n}\) 得到
\(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{T_n}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{T_n-1}-\frac{1}{T_{k+1}-1}\right)=1\)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。

mathmatical

收藏，学习。

kanyikan

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