证明：具有内切圆的四边形，内切圆圆心与两条对角线的中点共线

天山草

证明：具有内切圆的四边形，内切圆圆心与两条对角线的中点共线。

这个据说叫牛顿定理。

denglongshan

旁切圆也一样

denglongshan

1. 
   
2. \!\(\*OverscriptBox["o", "_"]\) = o = 0;
   
3. 
   
4. \!\(\*OverscriptBox["s", "_"]\) = 1/s;
   
5. \!\(\*OverscriptBox["t", "_"]\) = 1/t;
   
6. \!\(\*OverscriptBox["u", "_"]\) = 1/u;
   
7. \!\(\*OverscriptBox["v", "_"]\) = 1/v;
   
8. m[a_, b_] := (a + b)/2;
   
9. \!\(\*OverscriptBox["m", "_"]\)[a_, b_] := (
   
10. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) +
    
11. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\))/2;(*圆心在原点过单位圆上过两点的切线构成的切点 *)
    
12. T[a_, b_] := (2 a b)/(a + b);
    
13. \!\(\*OverscriptBox["T", "_"]\)[a_, b_] := 2/(
    
14. a + b);(*圆心在原点过单位圆上过两点的切线构成的切点 *)
    
15. kAB[a_, b_] := (a - b)/(
    
16. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
17. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\));
    
18. \!\(\*OverscriptBox["kAB", "_"]\)[a_, b_] := 1/kAB[a, b];(*复斜率定义*)
    
19. a = T[t, s];
    
20. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) =
    
21. \!\(\*OverscriptBox["T", "_"]\)[t, s]; b = T[t, u];
    
22. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) =
    
23. \!\(\*OverscriptBox["T", "_"]\)[t, u]; c = T[u, v];
    
24. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) =
    
25. \!\(\*OverscriptBox["T", "_"]\)[u, v]; d = T[s, v];
    
26. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\) =
    
27. \!\(\*OverscriptBox["T", "_"]\)[s, v];
    
28. 
    
29. e = m[b, d];
    
30. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\) =
    
31. \!\(\*OverscriptBox["m", "_"]\)[b, d]; f = m[a, c];
    
32. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\) =
    
33. \!\(\*OverscriptBox["m", "_"]\)[a, c];
    
34. Simplify[{a,
    
35. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\), b,
    
36. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\), c,
    
37. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\), d,
    
38. \!\(\*OverscriptBox["d", "_"]\)}]
    
39. Simplify[{e/f,
    
40. \!\(\*OverscriptBox["e", "_"]\)/
    
41. \!\(\*OverscriptBox["f", "_"]\), kAB[o, e],
    
42.   kAB[o, f]}](*用取共轭和复斜率两种方法验证*)
    
43. 
    
44. 
    
45. 
    

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计算结果有深刻几何意义

天山草

纯几何方法咋证？

creasson

有如下结论
\[\frac{{(O - A)(O - C)}}{{(O - B)(O - D)}} = \lambda  = \frac{{O - \frac{{A + C}}{2}}}{{O - \frac{{B + D}}{2}}}\]
前一式表明对顶角之和等于180°， 后一式表明牛顿定理。

Future_maths

Future_maths

先上图片。

Future_maths

Future_maths

然后给出证明。

Future_maths

同时证明了E,F在O点的两侧，不在同侧。