北京大学 2022 年强基数学试题：已知三角形三条中线长分别为 15,12,9 ，求三角形面积

Nicolas2050

北京大学2022年强基数学试题,已知三角形三条中线长分别为15、12、9，求三角形面积

lihp2020

我记得 有人证明了 中线组成的三角形面积 是 圆三角形面积的多少倍 (好像记得是3/4)

luyuanhong

luyuanhong

波斯猫猫

思路：如主贴图，按逆时针方向旋转，记各顶点及中点的坐标分别为：

(0，0)，(a，0)，(2a，0)，(a+ccosθ，csinθ)，(2ccosθ，2csinθ)，(ccosθ，csinθ)，由条件有：

(a-2ccosθ)^2+4(csinθ)^2=144      (1)

(2a-ccosθ)^2+(csinθ)^2=81          (2)

(a+ccosθ)^2+(csinθ)^2=225         (3)，

(1)-(2)得，c^2-a^2=21；(1)+(2)后和(3)消去c^2与a^2得accosθ=50，进而c^2+a^2=125。

故(acsinθ)^2=a^2c^2-2500=52x73-2500，即acsinθ=36。

从而其面积S=2a.2csinθ/2=2acsinθ=72。

时空伴随者

天山草

如果把三条中线换成三条角平分线，又该如何求三角形面积呢？
例如，三条角平分线是  47、51、69。则 S=?  

时空伴随者

时空伴随者

时空伴随者 发表于 2022-7-14 22:00

接6#
\(S_{ΔDGH}=\frac{1}{2}S_{ΔDGA}=\frac{3}{8}S_{ΔDBA}=\frac{3}{16}S_{ΔCBA}\)
而\(S_{ΔDGH}\)是由中线构成的三角形面积的四分之一，
所以，由中线构成的三角形的面积是原三角形面积的四分之三。

alexyu008

luyuanhong 发表于 2022-7-14 17:02

方法不错！