求最小的正整数 n ，使得 ∑(k=1,n)1／k^2＞π^2／6-1／2022

dodonaomikiki

USTC,2022年特殊类型考试，数学A

请看题目

dodonaomikiki

再顶一下

王守恩

从简单算起。

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{1}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{3}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{4}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{5}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{6}\)


\(也就是说：n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......\)

\(\displaystyle\bigg(\frac{\pi^2}{6}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\bigg)^{-1}=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......\)

dodonaomikiki

  谢谢王守恩老师！

这道题目，思绪不大有，主要我对数论木有投入精力！
现在，我仔仔细细好好研读一哈！

luyuanhong

楼上 王守恩 的解法思路正确，但没有推导证明。下面是此题的详细解答过程：

dodonaomikiki

这道中国🇨🇳科大试题，
看起来，好像不用经过繁杂的计算，
即可得到结果



但我数论知识贫弱，
回去仍然需要细细咀嚼，争取搞懂

王守恩

王守恩 发表于 2022-7-17 16:17
从简单算起。

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{1}\)

谢谢陆老师！我已经尽力了，还是不满意。

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{1}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}>\frac{1}{1^2}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{3}>\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{4}>\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{5}>\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\)

\(\displaystyle\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}>\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{6}>\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}\)


\(也就是说：n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......\)

\(\displaystyle a(n)=\bigg\lfloor\bigg(\frac{\pi^2}{6}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\bigg)^{-1}\bigg\rfloor=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......\)

dodonaomikiki

\(     1     \succ      0,64       \)


\(      1.25   \succ     1.14   \succ   1           \)
\(     1,36  \succ    1,31   \succ      1,25        \)
\(   1,42    \succ       1,39    \succ       1,36           \)
\(    1,46     \succ     1,44      \succ     1,42          \)
\(       1,4878    \succ     1.4766   \succ     1,46        \)







在王守恩【不好意思，笔误为熊猫老师啦 】老师列出的几项中，
取小数点2位就差不多啦！
往后走，肯定要取的精确些
\(     \pi  ^2=9.8596,   \frac{ \pi  ^2 }{6} = 1.6433    \)

dodonaomikiki

luyuanhong 发表于 2022-7-23 19:22
楼上 王守恩 的解法思路正确，但没有推导证明。下面是此题的详细解答过程：

一开始，陆老师K取值范围从n到无穷大，感觉梦笔！


后来，研读下来，恍然大悟！
茅塞顿开！
感激，感谢！

王守恩

\(想透了，不就是挺好玩的数字串吗？\)

\(挺好玩的数字串：n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......\)

\(\displaystyle a(n)=\bigg\lfloor\bigg(\frac{\pi^2}{6}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\bigg)^{-1}\bigg\rfloor=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ......\)