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要把 9 本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里,一共有多少种不同的装法?

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发表于 2022-7-23 02:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
要把9本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里,一共有多少种不同的装法?

答案:隔板法C38

看不懂这个答案,如果8代表9本书的内部间隙(不含两端的外侧),2个隔板就可以隔出3个独立空间代表三个手袋,所以为什么要C38,而不是C28呢?三个隔板,代表四个手袋。

其次,隔板法也有问题,无论怎么隔第一本书和第九本书都不可能放进同一个手袋,但实际上,1和9在同一个口袋的可能性是存在的。

因此正确答案应该是39吧?即每本书都有3种选择。
发表于 2022-7-23 11:39 | 显示全部楼层
要把 9 本不同的课外书分别装到三个相同的手提袋里,一共有多少种不同的装法?

答案 C(8,3)=56 显然不对。

   答案 3^9=19683 也不对。如果题目是将 9 本不同的书放入 3 个不同的袋中,确实会

有 3^9 种放法。但本题中是“三个相同的手提袋”,所以不会有 3^9 种放法。

   其实,把 9 本不同的书放入 3 个相同的袋(每袋至少一本书),相当于将 9 个不同

的元素,分成 3 个无编号的非空子集。

   在数学中,将 n 个不同元素,分成 k 个非空子集的不同的分配方法种数,称为斯特林数

(Stirling Number)
,记为 S(n,k) 。

   斯特林数 S(n,k) 的计算方法比较复杂(参见我下面的一个帖子)。

   当 n=9,k=3 时,可以求得 S(n,k)=S(9,3)=3025 。

   所以,把 9 本不同的书放入 3 个相同的袋(每袋至少一本书),共有 3025 种不同的放法。

   上面规定“每袋至少一本书”,所以 3 个袋子都不是空的,即 3 个子集都是非空子集。

   如果不规定“每袋至少一本书”,有些袋子可以是空的,那就不是 3 个非空子集了,有可能

是 2 个非空子集,或 1 个非空子集。

   把 9 个元素分成 2 个非空子集,有 S(9,2)=255 种分法。

   把 9 个元素分成 1 个非空子集,有 S(9,1)=1 种分法。

   这时的分配法总数为 S(9,3)+S(9,2)+S(9,1)=3025+255+1=3281 。

   所以,把 9 本不同的书放入 3 个相同的袋(有些袋可以是空的),共有 3281 种不同的放法。
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发表于 2022-7-23 11:40 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2022-7-24 01:55 | 显示全部楼层

谢谢lu老师的讲解。

一楼帖子的问题出自人教版高中数学B版选修第二册  第三章排列组合。课后习题3-1c 第4题。但是这章并没有讲过斯特林数。
所以,这道题不用斯特林数(暨假设学生不知道斯特林数的知识,也不会证明斯特林数)的知识,只用高中排列组合的知识可以解出来么?

其次,斯特林数属于数学哪个分支的内容。这个知识在概率、统计这两门学科中应用广泛么?
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发表于 2022-7-24 11:40 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2022-7-24 01:55
谢谢lu老师的讲解。

一楼帖子的问题出自人教版高中数学B版选修第二册  第三章排列组合。课后习题3-1c  ...


斯特林数的内容,在中学数学课中,是没有的,即使在普通的大学数学课中,也是不会讲到的。

只有在很冷僻的专门讲《组合数学》的书中,才会有斯特林数的介绍。

一楼中题目的出题者,我估计是他误以为这样的题目,用中学里简单的排列组合就可以解答,所以

才会出这样的题目。如果他知道这题的解答,其实要用到斯特林数,那他是决不会出这样的题的。

理论上说,即使不知道斯特林数的概念,用排列组合的基本概念,也可以自己推导出计算公式:

           S(n,k) = ∑(i=0,k-1)(-1)^i C(k,i)(k-i)^n/k! 。

例如,当 n=9 ,k=3 时,就有

     S(9,3)=[3^9-C(3,1)2^9+C(3,2)1^9]/3! = (19683-3×512+3×1)/6 = 18150/6 = 3025 。

但实际上,要推导这样的公式,是非常麻烦的,所以一般数学书中都是不讲的,更不会叫学生自己做了。
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 楼主| 发表于 2022-7-24 17:17 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2022-7-24 11:40
斯特林数的内容,在中学数学课中,是没有的,即使在普通的大学数学课中,也是不会讲到的。

只有在很 ...

谢谢lu老师。没想到现在高中数学这么卷
请问这个斯特林数在大学概率、统计两门课中用途多么?
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发表于 2022-7-24 21:48 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2022-7-24 17:17
谢谢lu老师。没想到现在高中数学这么卷
请问这个斯特林数在大学概率、统计两门课中用途多么?

学习大学概率统计,完全不需要用到斯特林数这样的概念。

点评

谢谢lu老师的讲解。  发表于 2022-7-24 22:27
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发表于 2022-7-25 17:07 | 显示全部楼层
如果高中生 可以知道 有些东西 可以用递推来求 但是 找通项是很复杂的   
s(n+1,k)= ks(n,k)+s(n,k-1)
这样 在草稿纸上列一个表格 就画出来了
当然 还是前提  n k比较小的时候 能直接想出结果
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 楼主| 发表于 2022-7-25 20:28 | 显示全部楼层
lihp2020 发表于 2022-7-25 17:07
如果高中生 可以知道 有些东西 可以用递推来求 但是 找通项是很复杂的   
s(n+1,k)= ks(n,k)+s(n,k-1 ...

请问,你这里的s 也是斯特林数的意思么?
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发表于 2022-7-26 02:38 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2022-7-25 20:28
请问,你这里的s 也是斯特林数的意思么?

是的,这里的 S 就是斯特林数。

上面第 3 楼中我给出证明的定理 1 ,就是斯特林数递推关系 S(n+1,k)=S(n,k-1)+kS(n,k) 。
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