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\Large\mathbf{雏议“无限与有限、精确与近似”的辩证关系}

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发表于 2022-7-29 15:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 春风晚霞 于 2022-7-29 19:09 编辑

一、无限与有限的辩证关系
1、什么是有限
定义:有限,指有条件的、在空间和时间上都有一定限度、有始有终的。
2、什么是无限
定义:无限,指无条件的、在空间和时间上都没有限制、无始无终的。
3、无限与有限的辩证关系
无限由有限构成,物质世界整体是无限的,但由无数具体有限的物质客体构成。有限是构成无限的环节、部分和因素,有限包含和体现着无限。有限事物的运动变化,使有限的界限不断被打破并否定而趋于无限。
【注】
①、上述1、2、3参见《汉语大辞典》﹝有限与无限﹞词条。
②、3是辩证无穷观关于无限双相性的认识,哲学上始于黑格尔(Hegel)无限是“进展之自我完成(going-together-with-itself), 复合词“进展”意即“延伸”(潜无限);“完成”意即过程的理想终结而成为整体自身(实无限)。数学上的双相无穷观在刘徽(公元250年左右)时代就已有认识。刘徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”亦是这种双相无穷观在数学中的反映:其中“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割”即表达“延伸”(潜无限)的思想;而“与圆合体而无所失”则表示过程的理想终结而成为整体自身(实无限)之意。
③、现行教科书上的等式1/3=0.3333……; √2=1.41421356……;\pi= 3.14159265……;……亦是双相无穷观在数学计算上的具体体现。上列各式右端的省略号“……”表示无限“延伸”(潜无限);等号(=)则表示过程的理想终结而成为整体自身(实无限)。所以,现行教科书关于无穷地介绍没有改写的必要。
 楼主| 发表于 2022-7-29 15:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 春风晚霞 于 2022-8-2 11:55 编辑

二、精确与近似的辩证关系
1、什么是“精确”:精确就是非常准确;非常正确。
2、什么是“近似”: 相近或相像但不相同。
3、准确值:数学中由定义内涵确定的值叫准确值。数学中某一概念的准确值是客观存在的,与使用这一概念的人的学识水平、学术派别无关。
4、近似值:计算上接近准确值的数值叫做近似值,如3.1416是圆周率值的近似值。
5、精确与近似的辩证关系
数学上精确与近似这一对矛盾中:精确是矛盾的主体(或主要方面),近似是矛盾的从属(或矛盾的次要方面)。所以,在解决数学问题时应该抓住矛盾的主体,顺带解决矛盾的从属。如抓住√2、\pi、sin\pi\over 12……准确值,我们才能完成√2、\pi、sin\pi\over 12……的有效十进制展开。如:
例1、已知√2=1.41421356……;√5=2.236067977……;求计算:(\small\sqrt 2×\small\sqrt 5)^8
【解:】\small(\sqrt 2×\small\sqrt 5)^8= (\small\sqrt 2)^8×(\small\sqrt 5)^8= \small 2^4×5^4=16×625=10000
【注意】如果本题按\small(\sqrt 2×\small\sqrt 5)^8=( 1.41421356……)^8×(2.236067977……)^8 依次计算,必然遭遇运算无法进行的尴尬。
例2、①、计算cos\pi\over 12的值;②、计算Ln\sqrt 3+Ln\sqrt 5(精确到小数点后第10位)。
【解:】①、因为2\small\ cos^2\small\pi\over 12=1+cos\small\pi\over 6,所以,cos\small\pi\over 12= \small\sqrt{\dfrac{2+\small\sqrt 3}{4}}
②、Ln\small\sqrt 3+Ln\small\sqrt 5=Ln(\small\sqrt 3×\small\sqrt 5)=Ln\small\sqrt{15}=\small 1\over 2×Ln15≈1.3540251006。
【注意】(1)、在根式运算中如遇非完全平方数的平方根地计算,当题设中没告诉精确度时,结果应保留根式,否则视为错误(因未指明精确度,则题设条件默认是精确计算,所以必须保留根式。)
(2)、若不承认\small\pi、√2……等准确值,则我们就不能完成如sin\small\pi\over 6、cos\small\pi\over 3(\small\sqrt 2)^{2n}……的精确计算。
(3)、含有无理数地计算,应在计算结果时根据指定精确度采用四舍五入法,以确保“精确”程度。
6、无理数的十进制展开
人类数学认识的过程是先认识精确数,如\sqrt 5\pi、sin\pi\over 12……,由于工程和物理需要,人类需要把\sqrt 5\pi、sin\pi\over 12……这样的无理数展开成十进制小数,于是有了“无尽不循环小数叫无理数”的概念。
例3、把下列确定的数(或式)展开成无穷级数:①、\small\sqrt 5;②、\small\pi;③、f(x)=Ln(1+x)
【解】①、因为\small\sqrt 5= \small\sqrt{(4+1)}= \small\sqrt{4(1+\small\dfrac{1}{4}})=2\small\sqrt{(1+\small\dfrac{1}{4}})
根据公式\sqrt{1+x}=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2\centerdot 4}x^2+ \dfrac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}x^3- \dfrac{1\centerdot 3\centerdot 5}{2\centerdot 4\centerdot 6\centerdot 8}x^4+……
所以,\sqrt 5= 2\sqrt{(1+\dfrac{1}{4}})=2[1+\dfrac{1}{2}\centerdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2\centerdot 4}\centerdot(\dfrac{1}{4})^2+ \dfrac{1\centerdot 3}{2\centerdot 4\centerdot 6}\centerdot(\dfrac{1}{4})^3- \dfrac{1\centerdot 3\centerdot 5}{2\centerdot 4\centerdot 6\centerdot 8}\centerdot(\dfrac{1}{4})^4+……]= 2.2360679774……。
②由arctnx=\int_0^x \tfrac{1}{1+x^2}dx=x-\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^5}{5}-\tfrac{x^7}{7}+……(-1≤x≤1)
因arctn1=\tfrac{\pi}{4};所以\pi=4[1-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7}+……]=3.1415926……
③因为f(x)=Ln(1+x);所以f'(x)=\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+……\;(-1<x<1)
所以,f(x)=Ln(1+x)= \int_0^x f'(x)dx=\int_0^x\dfrac{1}{1+x}dx=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+……\;(-1<x≤1)注意:当x=1时,f(1)=Ln2,所以此时无穷级数依然成立。故f(x)的收敛域为(-1<x≤1)。
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发表于 2022-7-30 18:56 | 显示全部楼层
既然无限由有限构成,那么,有限的数到底到多少位,才能称之为无限小数?
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 楼主| 发表于 2022-7-30 19:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 春风晚霞 于 2022-7-30 21:52 编辑
李利浩 发表于 2022-7-30 18:56
既然无限由有限构成,那么,有限的数到底到多少位,才能称之为无限小数?


“无限由有限构成”是指构成无限的每项(或每部分)是有限的,构成无限的项数(或部分数)是无限的。就其无限小数而言,无限小数每个数位上的数字的值是有限的,无限小数的位数是无限的。也就是说:有限个有限只能构成有限,只有无穷多个有限才能构成无限无限。
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发表于 2022-7-31 09:45 | 显示全部楼层
春风晚霞:你说【只有无穷多个有限才能构成无限无限】,那么你的 “无穷多个有限”的无限多个能背完成吗? 有终结吗?你的【过程的理想终结而成为整体自身(实无限)】违背实践的事实。 现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义,造成了布劳威尔反例与连续统假设的大难题,所以这个定义违背事实,没有√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值,不是你说的先有无尽小数。
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发表于 2022-7-31 10:13 | 显示全部楼层
jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣.90多岁了,没弄对过任何数学概念.他活该因篡改和造谣被抛弃.
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 楼主| 发表于 2022-7-31 11:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 春风晚霞 于 2023-3-9 15:51 编辑
jzkyllcjl 发表于 2022-7-31 09:45
春风晚霞:你说【只有无穷多个有限才能构成无限无限】,那么你的 “无穷多个有限”的无限多个能背完成吗?  ...


【只有无穷多个有限才能构成无限】这是黑格尔、恩格斯的辩证无穷观。 “无穷多个有限”是能被完成的。如单位圆周上有无穷多个点,当我们用圆规在纸上旋转一周,我们就得到一条封闭曲线。按你们所谓潜无穷观的认知,圆周上的点永远处于构造之中,所以你们永远不能画出一个圆。也永远做不出和圆有关的各种物品。你成天实践、实践,你画过圆吗?圆画出来了、和圆有关的物品做出来了,那么画圆(或做圆相关的物品)的工作也就 终结了。【过程的理想终结而成为整体自身(实无限)】这是双相无穷观的基本信条,它是符合黑格尔、恩格斯、徐利治等学者实践事实的。 现行教科书中“称无尽小数为实数”的定义,是满足实数的完备性和纯粹性的。√2、π本身就是准确值,如果根据”狗要吃屎“的事实,和你”要吃狗屎“地实践,你是得不到cos\pi\over 3=1\over 2,sin\pi\over 2=1;……这些准确值的。√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值?你能说说你的这些认知源于何典吗?任给你一个三角函数值,或任给你一个非完全平方数的算术平方根,你能写出它们的“曹托尔”基本数列吗?不妨你写一个给我们看看!
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发表于 2022-7-31 18:25 | 显示全部楼层
春风晚霞:π的无尽小数表达式从来没有人算到底,刘辉、祖冲之算出的是有有尽位,近代法国人使用电子计算机计算到50万位数字,茅以升在《十万个为什么》中指出“50万位小数完了吗?没完。永远算不完的,这是个‘无尽’”的数啊!”由于无穷级数算不到底,你说的π=4(1-1/3+1/5-1/7+……)不成立。 现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义,造成了布劳威尔反例与连续统假设的大难题,所以这个定义违背事实,没有√2、π的无尽小数之前就有了这些无理数的近似值,不是你说的先有无尽小数。,
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 楼主| 发表于 2022-7-31 19:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 春风晚霞 于 2022-7-31 20:07 编辑

Jzkyllcjl, 【π的无尽小数表达式从来没有人算到底】,并不意味着π就没有底。刘徽割圆术所说:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。这里的“所失弥少”、“与圆合体,而无所失”均表明圆周与直径的比是一个确定的常数。2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程师爱玛(Emma HarukaIwao)在谷歌云平台的帮助下,圆周率计算到小数点后31.4万亿位,其精度远比你那个【近代法国人使用电子计算机计算到50万位数字】高得多。半圆所对的圆心角如果用弧度(单位是rad)表示,它是一个无尽小数,但如果用角度表示它是180^o。从刘徽割圆示意图我们看到,一个圆圆周与直径之比与圆的内接正多边形的边数没有关系。所以用圆的内接正多形的周长逼近圆周,必然会产生误差。这就是刘徽所说的“割之弥细,所失弥少”,当到达“割之又割,以至于不可割”即内接正多边形的边长为趋向于零时,这时内接正多边形的周长便是圆周长。由正切函数的泰勒级数得π=4(1-1/3+1/5-1/7+……)是成立的,因为正切函数的幂级数是收敛的。收敛级数的余项为零。【布劳威尔反例与连续统假设的大难题】与【现行教科书中“称无尽小数未实施”的定义】无关。人类对数的认识最先认识的是整数,分数,毕达歌拉斯万物皆数就是讲的这个史实。所有无理数的定义值都是准确值,它们的十进制展开都有“写不到底”的特征。Jzkyllcjl,无穷级数是把无理数展开成无限十尽制小数行之有效的方法,谷歌工程师爱玛(Emma HarukaIwao)在谷歌云平台下,根据无穷级数的机理把圆周率计算到小数点后31.4万亿位,你用你的“曹托尔”基本数列办得到吗?你总强调无穷级数“写不到底”,你为什么从不去想对于任意无理数,你的“曹托尔”数列还开不了头呢?

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发表于 2022-8-1 09:29 | 显示全部楼层
春风晚霞: 你引用的表达式 π=4(1-1/3+1/5-1/7+……)右端的无穷级数具有永远算不到底的性质,31.4万亿位,不是无尽位。
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