关于函数空间是无限维，这样理解正确么？

wufaxian

比如我用傅里叶基去线形表示周期函数f(x) (周期内分段光滑，有有限个间断点，间断点左极限和右极限存在。)，你不可能用有限个傅里叶基去表示这个周期函数f,因此函数空间必须是无限空间?这样理解对么？

但是，如果我就规定一个函数空间只能有1，cosx,sinx,cos2x,sin2x构成。就好像向量空间我就规定它是五维的。这样五个函数不能构成一个有限维函数空间么？

下图两处黄色高亮的内容。“刚好无关” 的意思是不是说不能用那几个x0次～xn次函数彼此线性表示？

希尔伯特矩阵为什么邪恶？

13668164639

要理解就要回到定义，首先你说的这个函数空间比较笼统，你得先指明是哪一个函数空间，比如我们考虑区间上的模平方可积函数全体L^2；
然后说什么叫无穷维线性空间，就是说可以找到一组向量组，它们线性无关，然后空间中的任何向量都可以被它们中有限个向量的线性组合表出，然后呢这组向量组有无穷多个，那么我们说空间是无穷维的。
L^2是无穷维的，因为可以构造基底{e^(ikx)|k∈Z}

wufaxian

13668164639 发表于 2022-8-28 20:45
要理解就要回到定义，首先你说的这个函数空间比较笼统，你得先指明是哪一个函数空间，比如我们考虑区间上的 ...

你问的问题，其实也是我的问题，我看这本书的时候也是挺晕的。因为是导论，很多话题都是开了个头。后面都藏着一门课。有很多疑问留给了读者。
你要有兴趣，我可以把这本书发给你。你来判断一下这里的函数空间究竟是什么意思。

13668164639

wufaxian 发表于 2022-8-28 21:13
你问的问题，其实也是我的问题，我看这本书的时候也是挺晕的。因为是导论，很多话题都是开了个头。后面都 ...

可以，247098254@qq.com