试证：单调升函数 f(x) 在开区间 (a,b) 上的每一点 x 都有左右极限 f(x+),f(x-)

elim

题：设 \(f\) 在 \((a,b)\) 上单调升，\(x\in (a,b)\), 试证 \(f(x+),\,f(x-)\) 均存在。

elim

永远对这个题目有啥想法？

elim

题：设 \(f\) 在 \((a,b)\) 上单调升，\(x\in (a,b)\), 试证 \(f(x+),\,f(x-)\) 均存在。
证：对 \(c\in(a,b)\), 令 \(a_n = t+\large\frac{b-c}{n+1},\;\)则 \(f(c)\le f(a_{n+1})\le f(a_n)\;(\forall n)\).
\(\qquad\)即\(\,\{f(a_n)\}\)单调降, 有下界. 故序列收敛，有 \(\alpha\ge f(c)\) 使
\(\qquad\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(a_n)=\alpha.\)  故对\(\,\varepsilon>0\) 有 \(m\) 使 \(\alpha\le f(a_m)< \alpha +\varepsilon\)
\(\qquad\)令 \(\delta=a_m -c={\large\frac{b-c}{m+1}}>0,\) 则 \(\alpha\le f(x)\le f(a_m)< \alpha+\varepsilon\)
\(\qquad(x\in(c,c+\delta))\). 所以 \(f(c+)=\displaystyle\lim_{x\to c+} f(x) = \alpha\) 存在.
\(\qquad\)对称地可证\(\,f(c-)\) 存在., 并且 \(f(c-)\le f(c)\le f(c+)\;(\forall c\in (a,b))\)

elim

主贴问题堪称平庸。贴出来不过是强调整个微积分是全方位建立在严格的分析论证之上的。虽然微积分的运用一般不涉及这些琐碎的细节。

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！已收藏。