古代算数几何形体——阳马与鳖臑

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古代算数几何形体——阳马与鳖臑

作者 : 虞旻洋

1. 试题再现

（2015 年湖北高考文科数学）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。在如图 1 所示的阳马 P-ABCD 中，侧棱 PD ⊥ 底面 ABCD ，且 PD=CD ，点 E 是 PC 的中点，连接 DE,BD,BE 。

(I) 证明：DE ⊥ 平面 PBC 。试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(II) 记阳马 P-ABCD 的体积为 V1 ，四面体 EBCD 的体积为 V2 ，求 V1/V2 的值。（解答略）



2. 数学史料

《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵。斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。”

“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，今称为刘徽原理。刘徽注《九章算术》关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这个问题，他提出了一个重要原理：斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。

3. 直观阐释

根据数学史料的阐述，可以分析得到“阳马”与“鳖臑”的具体图形。

取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵。



再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个。以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马。余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑。



4. 学习与感受

这个阳马与鳖臑的问题在学习立体几何的概念中在课堂上被数学老师提出，当时上课的时候，同学们都在感慨古人的智慧，所以也激发了同学们学习几何的热情。原来在同学眼里复杂的几何图形也能有如此有趣的历史背景，但当时是以例题形式被展现出来，对此感兴趣的我也上网去查阅了一下，在湖北省高考文科数学卷上，一道几何题中出现了“阳马”与“鳖臑”两个名词，我放在了“1. 试题再现”中。

在我们普遍印象中，数学在我们日常生活中的应用和我们所学的可能远远所不能及，我们经常在私底下会说:“学几何干啥呀？又难学日常也没用啊！”可就在我们对于几何模型抱怨不停的时候，阳马与鳖臑的古代数学几何模型打破了我们传统认知，古人也学这个！瞬间激起了同学们的好奇心。

相对于枯燥的数字与毫无生气的模型，有古典名称与背景的模型更受同学们的“欢迎”，也让我对数学以及数学史产生了浓厚的兴趣，再往后学习其他数学知识时，往往会去了解一下其发展史或历史小故事，在越来越多的接触中，我发现了数学不再让我过于恐惧，我对数学也有了一定的信心。

每个人在世界的范围内都近似于—个小小的点，但几个细微的点就可以扩充为—个几何体，增大数倍的体积与能量。无论你身处何方，都要手握—条条线，将自己与他人连成—个整体，立足于这个世界之中。“个人如果单靠自己，如果置身于集体之外，如果置身于团结民众的思想范围之外，就会—无所用。”高尔基这样告诉我们。我相信，小小的点掌握了几何体的位置关系，就可以拥有它的力量。世界是—个大的整体，就看你向哪里进发。

茫茫世界，人的一生好比一个坐标系。无论是点、面、线、体，都在其中。正如毕达哥拉斯所说：“数学统治着宇宙。”其实，那道道数学题中正蕴含着种种人生哲理。